I Fondamenti della Cinematica e Dinamica classica

I Fondamenti della Cinematica e Dinamica classica

Il fisico e filosofo Italiano Galileo Galilei fig.(3-a) fu il primo a matematizzare lo studio della natura e a riassumere con delle leggi e in modo quantitativo i dati provenienti dall'esperienza sensoriale. Fu il primo a cogliere l'importanza, in Fisica, dei modelli matematici e del procedimento ipotetico deduttivo, infine colse la necessità di eliminare dallo studio della natura tutti i fenomeni secondari, imprevedibili e mutevoli. Ci fu allora la necessità di stabilire dei sistemi di riferimento che si muovessero ai limiti dell'esperienza sensibile. Nascono così i sistemi di riferimento inerziali, tali per cui la risultante delle forze agenti su di essi sia nulla e pertanto essi siano sempre o in quiete o in moto rettilineo uniforme. Dopo studi ed esperienze Galilei arrivò ad enunciare un principio che accomunasse tutti i sistemi inerziali che ancora oggi è noto come Principio di Relatività Galileiano:

"Le Leggi della Fisica (intesa solo come Meccanica) sono identiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali in moto l'uno rispetto agli altri di moto rettilineo uniforme."

Galilei stabilì, inoltre, le equazioni che mettevano in relazione le coordinate di due o più sistemi inerziali, aventi come invarianti, oltre alla metrica dello spazio, vale a dire alla distanza spaziale, anche il tempo. La metrica di cui stiamo parlando è naturalmente una metrica Euclidea e le coordinate dei sistemi inerziali sono coordinate Cartesiane, per cui vale l'assunzione come postulato del Teorema di Pitagora:

dove e i rappresenta l'intervallo tra un punto ed un punto .

L'uomo sin dall'antichità ha attribuito al tempo un valore assoluto, che non dipendesse da nessuna altra cosa esistente in natura. Ovviamente anche in Galileo il tempo mantiene un carattere assoluto, indipendente dai fenomeni naturali e come tale invariante nel passaggio da un sistema inerziale ad un altro. Ipotizzando, quindi, due sistemi inerziali in moto relativo con velocità uniforme (per semplicità di calcolo consideriamo il vettore parallelo all'asse x) come in fig.(9-a), le trasformazioni che ci permetteranno di passare dalle coordinate di un sistema S a quelle di un sistema S ^' sono:

oppure cambiando riferimento:    

Verifichiamo che il tempo e la distanzia siano rimasti invariati:

Galilei enunciò anche la composizione delle velocità per un corpo che si muove di velocità in un sistema inerziale in moto relativo con velocità rispetto ad un altro sistema inerziale, anche in questo caso, per semplicità di calcolo, consideriamo il vettore parallelo all'asse , vedi fig.(9-a):

La velocità registrata in S^' è:

Possiamo pervenire allo stesso risultato applicando il concetto di derivata, nel caso in cui si considerino spostamenti infinitesimi e intervalli di tempo altrettanto piccoli:

Le formule inverse sono:

Inoltre per la Relatività Galileiana, non solo la velocità di un corpo P è identica sia se misurata in S piuttosto che in S', ma anche l'accelerazione risulta costante ed uguale a 0 se misurata da qualsiasi sistema di riferimento inerziale:

descritta la Cinematica Classica enunciamo i Principi della Dinamica:

Primo Principio( o Legge di Galilei):

"Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se su di esso agisce una forza nulla o se la somma delle forza agenti su di esso è eguale a zero."

Secondo Principio (o Legge Fondamentale di Newton):

"l'accelerazione di un punto materiale è in ogni istante direttamente proporzionale alla forza applicatagli e la costante di proporzionalità è rappresentata dalla massa inerziale:  forza ed accelerazione hanno sempre stessa direzione e stesso verso."

Terzo Principio (o di azione-reazione):

"La forza applicata da un corpo A su un corpo B è eguale e contraria alla forza applicata dallo stesso corpo B sullo stesso corpo A."

In particolare, nella Dinamica Classica il secondo principio è invariante rispetto alle trasformazioni di Galilei. Presupponendo la massa costante e l'accelerazione invariante (vedi la (8)) lo si deduce necessariamente. Nella Dinamica Classica, oltre al secondo principio, ci sono altre due leggi di conservazione che rimangono invarianti; esse sono la conservazione della quantità di moto e dell'energia meccanica. Definendo la quantità di moto come il prodotto tra la massa e la velocità di un corpo, dimostriamo la sua conservazione e la sua invarianza. Consideriamo il comportamento di due particelle di uguale massa e aventi il vettore velocità di uguale intensità ma di verso opposto che subiscono un urto completamente elastico in un sistema di riferimento K, fig.(13-a). Dunque siano rispettivamente le componenti delle velocità sull'asse x e y prima dell'urto e rispettivamente le componenti delle velocità sull'asse x e y dopo l'urto.

con

applicando la definizione di quantità di moto si ottiene:

da cui:

La quantità di moto si è quindi mantenuta inalterata prima e dopo l'urto. Per motivi di semplicità di calcolo la componente z è stata omessa. Dimostriamo che la (12) si mantiene costante anche se il fenomeno viene studiato da un osservatore in un secondo sistema inerziale K' in moto relativo rispetto a K con velocità uniforme . In questo modo agli occhi dell'osservatore in S' m_a risulta muoversi lungo l'asse y, vedi fig.(13-a).

Definiamo l'energia cinetica: immaginiamo un corpo materiale di dimensioni infinitesime in quiete rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Eliminando gli attriti, a questo corpo viene impressa un'accelerazione mediante una forza costante:

dove m rappresenta la massa inerziale del corpo. La spinta si protrae per un intervallo di tempo al termine del quale il corpo avrà raggiunto:

Calcoliamo il valore del lavoro compiuto da questa forza nell'intervallo di tempo :

siccome la F è costante:

Il corpo in questione è dotato di velocità ed è in grado di compiere un lavoro pari al lavoro compiuto per metterlo in moto. Chiameremo energia cinetica questa capacità dei corpi di compiere un lavoro:

Il principio di conservazione dell'energia meccanica si estende all'energia totale, in qualsiasi forma essa si trovi. Non è difficile dimostrare l'invarianza di questa legge in meccanica classica nel momento in cui si passa da un sistema inerziale ad un altro: infatti la massa è una costante e la velocità abbiamo già dimostrato essere invariante rispetto a delle trasformazioni di Galilei.