Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz

Fenomenologia delle trasformazioni di Lorentz

Esprimiamo il fattore lorenziano in funzione di . Il grafico è riportato in fig(18-a). Vediamo come appaiono le lunghezze e gli intervalli temporali se visti da diversi sistemo di riferimento. La lunghezza è definita come la differenza spaziale tra due punti le cui coordinate, in un sistema di riferimento, vengono rilevate nello stesso istante di tempo. Consideriamo un sistema K' in moto relativo con velocità v rispetto a K con il quale l'osservatore è solidale. Fig(11-a). Un regolo di lunghezza l_o è posto in K' ed è in quiete rispetto ad esso.

ma essendo:

sostituendo le coordinate della 58) nella 57) otteniamo:

Si può notare che il regolo misurato da un osservatore posto in K risulta accorciato proporzionalmente al fattore . Questo perché se le misure delle estremità del segmento fossero registrate simultaneamente in K' esse non sarebbero misurate simultaneamente in K.

Considerando sempre la fig(11-a). Possiamo affermare che un orologio a riposo in K' e collocato nel punto misura un intervallo temporale tra due eventi che si verificano in :

Chiameremo questo o intervallo di tempo proprio.

Nel sistema di riferimento K gli eventi risulteranno con le seguenti coordinate:

L'intervallo di tempo misurato in K è:

come si nota l'intervallo di tempo tra due eventi in K', se viene misurato in K, appare dilatato del fattore lorenziano.

Analizziamo i due importanti risultati ottenuti:

Il fattore pone in evidenza il fatto che sia la contrazione delle lunghezze che la dilatazione degli intervalli temporali sia dovuta solamente alla velocità relativa tra i sistemi di riferimento, in quanto c è costante. Ovviamente essendo parleremo di dilatazione quando sarà posto a denominatore e di contrazione quando sarà posto a denominatore. Analizziamo i limiti della seconda delle 63):

come si nota, se la velocità relativa dei due sistemi tende alla velocità della luce, l'intervallo di tempo si dilata all'infinito: il tempo si ferma, cessa di scorrere per un corpo che viene visto muoversi con velocità c. Invece per capire cosa succede alle lunghezze che vengono viste muoversi con velocità c basta calcolare il limite della prima delle 63):

Un corpo che si muove alla velocità della luce, è caratterizzato da una lunghezza nulla. Le considerazioni sul fattore non finiscono qui, infatti possiamo calcolare i limiti di entrambe le 63) per una velocità molto inferiore a c, o meglio, per c che tende all'infinito:

Come si può vedere per questo genere di limiti, le trasformazioni 63) si riducono alle trasformazioni conosciute per la cinematica classica, inoltre, applicando lo stesso ragionamento e gli stessi limiti direttamente alle trasformazioni di Lorentz, notiamo che esse si riducono alle ben note trasformazioni di Galilei.