Il lavoro delle forze non conservative e il principio di conservazione dell'energia totale

IL LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE E IL PRINCIPIO DI  CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA TOTALE

Nel caso agiscano forze puramente conservative abbiamo potuto scrivere

DE_m = 0                      (5.8.1)

Questa equazione ci dice che l'energia meccanica non varia, e che dunque l'energia meccanica iniziale deve essere uguale all'energia meccanica finale.

Nel caso agiscano anche forze non conservative, la 5.8.1 non vale più, perché l'energia meccanica in questo caso è ben lungi dal conservarsi. Posso, per esempio, aspettarmi che, al termine di un processo non conservativo, alla mia quota di energia meccanica iniziale manchi una parte.

Cerchiamo dunque un'equazione che metta in relazione il lavoro fatto dalle forze non conservative (W_non) con l'energia meccanica.

Il punto di partenza sarà il teorema dell'energia cinetica, che vale per ogni tipo di forza:

W = DK                      (5.8.2)

Il lavoro W può essere scritto come somma di lavoro fatto da forze conservative (W_con) e lavoro fatto da forze non conservative (W_non):

W_non + W_con = DK                  (5.8.3)

Per il lavoro delle forze conservative sappiamo di potere usare l'espressione -DU (paragrafo 5.5).

L'equazione precedente diviene dunque

W_non - DU = DK                     (5.8.4)

ovvero

W_non = DU + DK = D(U + K) = D(E_m)                       (5.8.5).

Questa è l'equazione che mette in relazione il lavoro delle forze non conservative (per esempio l'attrito) con la variazione dell'energia meccanica.

L'equazione

DE_m = 0

che esprime invece la conservazione dell'energia meccanica, si ottiene dalla (5.8.5) ponendo W_non =0, ovvero mettendosi nel caso di sole forze conservative o forze diverse ma con lavoro nullo (reazioni vincolari, forze centripete.).

Nel caso dell'attrito (ed in moltissimi altri) il lavoro delle forze non conservative appare sotto forma di calore, il quale, a sua volta, si rende evidente per un aumento di temperatura del sistema.

Nel caso conservativo, si è visto che ad una variazione dell'energia cinetica deve corrispondere una variazione uguale e opposta nell'energia potenziale e che questa variazione è accompagnata da lavoro meccanico.

W = DK = -DU

In questo senso il lavoro meccanico può essere visto come manifestazione del trasferimento di energia potenziale in energia cinetica e viceversa, il tutto in modo che l'energia meccanica si conservi.

Nel caso delle forze non conservative le cose non vanno poi tanto diversamente: mentre le energie cinetica e potenziale variano (e dunque varia l'energia meccanica invece di conservarsi), le forze producono un lavoro che si manifesta come calore: questo calore può essere visto come manifestazione del trasferimento di energia meccanica in energia interna delle molecole.

Questa energia interna può essere vista come energia cinetica delle singole molecole che costituiscono i materiali: le molecole non sono ferme ma si muovono in modo casuale (gas e liquidi) oppure oscillano intorno a posizioni fisse (solidi).

L'aumento di energia interna è palesato da un aumento della temperatura o dal cambiamento di stato del materiale (da solido a liquido.).

Se nel computo dell'energia, oltre alle già citate energie cinetica e potenziale, includiamo anche l'energia interna delle molecole e altre forme di energia (chimica, nucleare.) possiamo dire che in un sistema isolato nel complesso l'energia totale si conserva.

Le manifestazioni di calore e lavoro meccanico sono indice della trasformazione da una forma di energia ad un'altra (da energia cinetica a energia potenziale, da energia cinetica a energia interna.).

IMPORTANTE: che l'energia meccanica si conservi nel caso 'conservativo' è stato dimostrato 'matematicamente': la conservazione dell'energia meccanica è dunque un teorema.

Che l'energia totale si conservi nel caso 'non conservativo' non è stato dimostrato matematicamente, anche se è ritenuto dai fisici una delle verità fondamentali. Più che di un teorema si tratta dunque di un principio o di un assioma (principio di conservazione dell'energia totale).

Esempio: una massa di 75 Kg cade (con velocità iniziale nulla) dal terzo piano (10 metri) e si arresta per l'urto a terra. Calcola il calore dissipato al momento dell'impatto.

Svolgimento: durante la caduta agiscono anche le forze non conservative che arrestano la caduta.

Useremo dunque la (5.8.5).

L'energia meccanica iniziale vale

E_mi = U + K = (75 10) J + 0 = 7500 J + 0 = 7500 J

E_mf = U + K = 0 + 0 = 0 J

DE_m = E_mf - E_mi = (0 - 7500) J = - 7500 J

W_non = DE_m = -7500 J

Questo calore di 7500 J serve ad aumentare l'energia interna delle molecole del corpo caduto e del terreno e si manifesterà in un aumento della temperatura.

Esempio: un'auto da 1000 Kg scende lungo un piano inclinato in folle da una altezza di 5 metri in presenza di attrito. La velocità in fondo al piano inclinato è di 6 m/s, quella in cima al piano è nulla.

Calcola il lavoro fatto dalle forze di attrito.

Svolgimento: usiamo ancora l'equazione (5.8.5).

E_mi = U + K = (1000 5) J + 0 J = 50000 J

E_mf = U + K = 0 J + (0.5 6² ) J = 18000 J

DE_m = (18000 - 50000) J = -32000 J

Il lavoro fatto dalle forze di attrito (calore) è pari a -32000 J.