Esempi importanti

ESEMPI IMPORTANTI

LA CARRUCOLA FISSA

In figura 2.5.1 è rappresentata una carrucola fissa: un peso applicato a sinistra esercita una forza F verso il basso ed una forza incognita applicata sul lato destro mantiene l'equilibrio traslazionale e rotazionale.

Vogliamo sapere quanto deve valere questa forza incognita.

Prima domanda:

siamo sicuri che la carrucola possa essere in equilibrio con le sole forze disegnate in figura?

Prima risposta:

abbiamo una forza verso il basso e una in direzione basso - destra; verso l'alto nessuna forza: la carrucola non dovrebbe dunque essere in equilibrio, ma lo è perché è vincolata dal perno e dunque sul perno si generano le forze di reazione vincolare opportune (verso l'alto e a sinistra) in grado di mantenere l'equilibrio (lo ribadiamo: le forze vincolari si "adattano" alle forze attive).

Seconda domanda:

perché se esistono delle forze di reazione vincolare non le abbiamo disegnate?

Seconda risposta:

non le abbiamo disegnate perché queste forze sono posizionate sul polo O e, avendo momento nullo, non compaiono nelle equazioni del momento.

Siamo pronti a determinare la forza incognita X.

Cominciamo col notare che F ha momento antiorario e X momento orario.

MF (antiorario) = F·r·sin(90°) = F·r

MX (orario) = X·r·sin(90°) = X·r

Uguagliando i momenti orari ed antiorari si ha

X·r = F·r                     ovvero X=F (2.5.1)

La carrucola fissa non ci ha dato dunque nessun vantaggio in termini di forza:

se devo tenere in equilibrio 1000 N devo esercitare una forza di 1000 N; la carrucola fissa mi permette però di mantenere in equilibrio la forza di 1000 N verso il basso applicandone una uguale (1000 N) sempre verso il basso (tirare verso il basso è comodo perché posso "appendermi" alla corda e sfruttare il mio peso).

Possiamo così dire che la carrucola fissa ha la funzione di far cambiare direzione alla forza applicata.

LA CARRUCOLA FISSA VANTAGGIOSA

La carrucola fissa vantaggiosa è ottenuta incollando insieme due dischi di raggio diverso (rp = "raggio piccolo"; rg = "raggio grande"). Le forze sono applicate alla carrucola in questo modo:

Fp è applicata al raggio piccolo; Fg a quello grande.

Vogliamo vedere che relazione esiste tra Fp, Fg e i due raggi.

Non disegniamo le forze di reazione vincolare applicate nel perno perché hanno momento nullo e non compaiono nei calcoli di bilancio del momento.

Fg ha momento orario:

MFg (orario) = Fg·rg

Fp ha momento antiorario:

MFp (antiorario) = Fp·rp

Bilanciando i momenti orari e antiorari abbiamo

Fp·rp = Fg·rg              (2.5.2)

e da questa

Fp/Fg = rg/rp              (2.5.3).

Usiamo (2.5.2) con qualche numero; supponiamo che Fp = 1000 N e che rp = 0,1 m e rg = 0,3 m. Quale forza dobbiamo applicare sul raggio grande (Fg) per tenere in equilibrio i 1000 N applicati sul raggio piccolo (Fp)?

1000·0,1 = Fg·0,3

Fg = 1000·0,1/0,3 = 1000/3 = 333 N

È evidente che usando questa carrucola abbiamo vantaggi in termini di forza (333 n per equilibrare 1000 N) oltre a poter cambiare direzione alla forza equilibrante (come succedeva sulla carrucola fissa).

NOTA BENE:

la carrucola fissa vantaggiosa moltiplica (o demoltiplica) la forza di un fattore uguale al rapporto dei due raggi.

LA CARRUCOLA MOBILE

In questo caso la carrucola non è appesa al muro tramite il perno:

la sostengono la forza Fs (forza di sinistra) dovuta alla tensione della fune e la forza Fd (forza di destra) dovuta alla nostra mano.

Per comodità mettiamo il polo O come in figura (non avendo perni siamo liberi di scegliere il polo O come meglio ci garba).

Per garantire l'equilibrio traslazionale, le forze verso l'alto (Fs e Fd) devono bilanciare quelle verso il basso (P):

se dunque P vale 1000 N allora Fs e Fd sommate devono fare 1000 N.

Per garantire l'equilibrio delle rotazioni è necessario che i momenti orari bilancino quelli antiorari; notiamo che Fs ha momento nullo in quanto applicata nel polo O.

MP (orario) = P·r

MFd (antiorario) = Fd·2r

Bilanciando i momenti abbiamo

P·r = Fd·2r                  ovvero Fd = P/2 (2.5.4)

Sapendo che Fd e Fs sommate devono fare P e che Fd = P/2 per la (2.5.4) possiamo dedurre che anche Fs vale P/2 ovvero che

in una carrucola mobile la forza applicata al centro viene divisa in due dalle forze esercitate sui raggi.

Problema: quale forza Fd è necessario applicare tramite una carrucola mobile per tenere in equilibrio 500 N?

Risposta: 250 N.

LA CARRIOLA

PROBLEMA: un peso P da 1000 N è posto nel cassone di una carriola che viene tenuta sollevata da una forza F applicata alle maniglie.

La carriola può ruotare attorno al perno della sua ruota (polo O). Determinare la forza F sapendo che il cassone dista 1 metro dal polo mentre le maniglie distano 2 metri.

SVOLGIMENTO: il sistema è vincolato (dal perno della ruota) per cui l'equilibrio traslazionale è garantito dalle forze di reazione vincolare agenti sul perno e che non sono state disegnate pochè nel calcolo dei momenti che faremo danno contributo zero.

Imponiamo l'equilibrio dei momenti orari ed antiorari.

Poiché le forze P e F sono parallele allora formano uno stesso angolo q con la sbarra della carriola.

MP (orario) = 1000 sin(q sin(q) N m

MF (antiorario) = F sin(q

Uguagliando i momenti ho

F sin(q sin(q ovvero F = 500 N

La carriola è dunque una macchina vantaggiosa, tanto più vantaggiosa quanto più il cassone è vicino al perno e le maniglie sono lontane (inventatevi un esercizio per verificarlo).

NOTA BENE: poiché le forze agenti sul sistema sono parallele, il termine sin(q) nelle equazioni del momento si è semplificato; nei casi simili potremo essere autorizzati a scrivere le equazioni del momento direttamente senza il termine sin(q) in vista della sua semplificazione