Conservazione Relativistica della Quantità di Moto

Conservazione Relativistica della Quantità di Moto

Siamo in quattro dimensioni (ct;x;y;z) ed è stata definita una nuova lunghezza:

così che chi si muove a velocità c e percorre un intervallo:  è caratterizzato da una lunghezza nulla. Nella cinematica classica , nella cinematica relativistica:

portando la coordinata temporale fuori dal segno di radice si ottiene:

definiamo una nuova velocità:

Pertanto se nella Fisica Classica si aveva p=mv, in Relatività Ristretta la Quantità di Moto sarà:

La Quantità di Moto risulta maggiore se vista da un osservatore non solidale con il sistema di riferimento nel quale si muove un qualsiasi corpo. Non va dimenticato che siamo in quattro dimensioni, pertanto il vettore p' è in realtà un quadrivettore. Determiniamo la quarta dimensione:

Il modulo totale del quadrivettore, dunque, sarà:

Per giungere alla nuova definizione di quantità di moto abbiamo scelto una delle tante strade possibili: la più semplice. Abbiamo, infatti, creato una nuova definizione di velocità e siamo giunti:

Notiamo che se un osservatore registra il moto di una particella dotata di una massa a riposo non nulla, nota che il vettore velocità è identico nelle sue componenti spaziali al vettore velocità relativo (corpo-sistema) e cioè al rapporto; ne segue che il fattore moltiplicativo è riferito necessariamente alla massa a riposo:

In conclusione: se è la massa a riposo di un corpo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale si può indifferentemente affermare che la sua Quantità di Moto è:

il prodotto della massa a riposo per  la nuova definizione di velocità

il prodotto di una nuova massa, variante in funzione della velocità, per la definizione ordinaria di velocità.

Tutto questo implica che per poter mantenere anche in Relatività Ristretta il principio di conservazione della Quantità di Moto è possibile modificare o la nostra definizione di velocità o la nostra definizione di massa: la seconda risulta più vantaggiosa da un punto di vista operativo.

Verifichiamo se la Quantità di Moto relativistica si conserva con la modifica apportata alla massa. Consideriamo un urto totalmente anaelastico che avviene in un riferimento K tra due corpi aventi uguale massa a riposo e velocità uguali in modulo, opposte in verso e aventi direzione parallela all'asse delle ascisse.

La Quantità di moto relativistica è conservata anche con le nuove modifiche apportate alla massa. Il quadrivettore momento è invariante per delle trasformazioni di Lorentz. Conoscendo i limiti del fattore lorenziano per e per notiamo che la massa inerziale di un corpo aumenta infinitamente per il primo limite: diventa impossibile dunque accelerare un corpo dotato di massa fino alla velocità della luce, in quanto avrebbe massa inerziale infinita. Questo aumento di massa non è legato in nessun modo ad una variazione delle dimensioni del corpo. Un fotone è dotato di massa nulla. Per quanto riguarda il secondo limite, per basse velocità, si nota che la massa del corpo in moto non differisce, se non per un fattore trascurabile, dalla massa del medesimo corpo in quiete. Come in meccanica classica la sua massa rimane una costante.