Composizione di forze parallele agenti su corpi rigidi

COMPOSIZIONE DI FORZE PARALLELE AGENTI SU CORPI RIGIDI

Riferendoci alla figura 2.6.1, sappiamo che quando due forze Fa e Fb parallele agiscono contemporaneamente su un corpo rappresentato da un punto materiale le cose vanno come se agisse una forza sola (la risulatante R) data dalla somma delle due forze e che per tenere in equilibrio il corpo bisogna far agire una forza equilibrante E uguale ed opposta alla risultante (E = -R). Non ci possiamo nemmeno porre il problema di dove applicare la risultante e la equilibrante perché, lavorando nell'approssimazione del punto materiale (tutto il corpo in un punto), non possiamo far altro che applicarle sul punto stesso.

Ben diversa è la situazione ragionando più realisticamente con un corpo rigido esteso (fig 2.6.2: FORZE PARALLELE E CONCORDI):

anche in questo caso sappiamo che la forza risultante R è data dalla somma di Fa e Fb e che la equilibrante E è uguale ed opposta a R, ma in quale preciso punto dovremo applicare questa equilibrante?

Poiché stiamo trattando un corpo in equilibrio possiamo scegliere la posizione del polo O come vogliamo (vedi par. 2.4); per comodità lo metteremo dove agisce la equilibrante: in questo modo il momento di E rispetto ad O vale zero e non entra nelle equazioni di bilanciamento del momento. Chiamiamo a e b le distanza da O di Fa e Fb.

Poiché dobbiamo garantire l'equilibrio, è necessario che i momenti rispetto ad O delle tre forze agenti sul sistema (Fa, Fb ed E) si bilancino:

Mfa (antiorario) = Fa a

MFb (orario) = Fb b

Bilanciando i momenti abbiamo

Fa a = Fb b                  (2.6.1)

ovvero

(Fa/Fb) = b/a               (2.6.2)

La 2.6.2 ci dice che le distanze a e b delle forze agenti dal punto di applicazione della equilibrante sono inversamente proporzionali alle forze stesse; questo vuol sostanzialmente dire che il punto O cercato avrà distanza minore dalla forza maggiore o, in altre parole, la equilibrante si colloca più vicino alla forza più grande.

Quanto "vicino" alla forza più grande ce lo dirà l'equazione (2.6.1).

ESEMPIO: riferendoci alla figura 2.6.2, supponiamo che

Fa = 100 N

Fb = 200 N

distanza AB = 2 metri.

Trovare la posizione della equilibrante E.

Cominciamo a dire che E sarà pari a 300 N verso l'alto e che sarà più vicina a Fb. Se b è la distanza da Fb allora la distanza a da Fa vale (2-b). Scriviamo dunque l'equazione (2.6.1):

(2-b) = 200 b                    200 - 100 b = 200 b    200 = 300 b     b = 200/300 = 0,6

a = (2-b) = 2-0,6 = 1,4.

Cosa succede se le forze agenti sul corpo rigido sono PARALLELE E OPPOSTE?

Sicuramente la equilibrante non potrà più essere posizionata tra Fa e Fb, perché mettendo il polo O in questa posizione sia Fa che Fb avrebbero momenti antiorari che non sarebbero bilanciati da nessun momento orario.

La equilibrante si posizionerà dunque esternamente alla linea AB, in una posizione tale da far equilibrare i momenti di Fa e Fb (di nuovo la equilibrante E non ha momento rispetto al polo O perché è posizionata sul polo stesso)

MFa (antiorario) = Fa a

MFb (orario) = Fb b

Fa a = Fb b      (Fa/Fb) = (b/a) (2.6.3)

L'equazione (2.6.3) è identica alla (2.6.2) per cui potremo dire in generale che

la equilibrante di due forze parallele agenti su un corpo rigido va posizionata vicino alla forza più grande e internamente se le forze sono concordi, esternamente se sono opposte.

Non sarà inutile tornare a dire che, poiché risultante R ed equilibrante E si collocano nel medesimo punto, conoscere la posizione della equilibrante equivale a conoscere la posizione della risultante.

NOTA BENE: nel caso Fa e Fb siano uguali, siccome non esiste una forza più grande presso la quale collocare il punto O, la forza equilibrante si posizionerà al centro di AB.

ESEMPIO: riferendoci alla figura (2.6.3)

Fa = 100 N verso il basso

Fb = 300 N verso l'alto

Distanza tra Fa e Fb = 2 metri

Trovare la posizione della equilibrante E.

Poiché siamo nel caso delle forze parallele ed opposte E si posizionerà esternamente ad AB e più vicino a Fb essendo la forza più grande; il valore del modulo di E è 200 N verso il basso. Se O dista b da B allora dista (2+b) da A.

(2+b) = 300 b       200 +100 b = 300 b     200 = 200 b     b = 1

a = (2+b) = 2 + 1 = 3.

NOTA BENE:

nella teoria e negli esempi fatti abbiamo sempre considerato forze a 90° dalle aste di modo che nelle equazioni del momento non compariva il termine sin(q); se anche tra le aste e le forze ci fosse stato un angolo q, questo sarebbe stato lo stesso per entrambe le forze (sono forze parallele!) per cui sarebbe stato semplificato nelle equazioni di bilanciamento del momento. La formula (2.6.1) ricavata per un caso specifico vale dunque in generale.