Anelli ad aggancio di fase digitali

Anelli ad aggancio di fase digitali

Realizzazione con metodo di Eulero

Il metodo sicuramente più intuitivo per realizzare un PLL digitale consiste nel simulare il sistema analogico. Come vedremo questa soluzione da buoni risultati se confrontati con il limite di Cramer-Rao.

Trascuriamo per il momento l'effetto del rumore, e per comodità riportiamo l'equazioni di stato che regolano il funzionamento di un PLL analogico,

con .

La simulazione di un sistema analogico consiste nel cercare i punti che meglio approssimino i valori, , assunti dalle variabili di stato del sistema, agli istanti con .

Nel metodo di Eulero questi punti vengono dati dalla relazione

per cui troviamo

In figura 1 è mostrato il diagramma in banda base di un sistema che realizza questo sistema.

Figura 1 Equivalente in banda base di un PLL digitale del secondo ordine

Se l'errore di fase è molto minore dell'unità possiamo approssimare il seno con il suo

argomento ottenendo

Figura 2 Modello linearizzata di un PLL digitale del secondo ordine

Sostituendo e spostandoci nel dominio z possiamo trovare la funzione di trasferimento H(z) del PLL digitale, infatti,

da cui si ricava

e, con pochi calcoli

Figura 3 Funzione di trasferimento ad anello chiuso

La funzione di trasferimento è stata rappresentata in figura 3, in funzione della frequenza normalizzata, , per vari valori della frequenza naturale normalizzata, , ed è periodica con frequenza . Dal grafico si può vedere come, al crescere di , il PLL perda la sua caratteristica di filtro Passa-Basso.

Per capire l'importanza del metodo di Eulero è utile confrontare il PLL digitale trovato, con un altro PLL largamente sfruttato nelle telecomunicazioni numeriche, e che è descritto dalle equazioni

omettendo i calcoli [3] si trova che il PLL ha funzione di trasferimento:

che è identica alla funzione di trasferimento del PLL trovato con il metodo di Eulero quando si sostituisce:

.

Realizzazione con metodo di Runge-Kutta

Come abbiamo visto in precedenza il metodo di Runge-Kutta consiste nell'approssimare il valore di , partendo dalla conoscenza di , valutando la funzione in 4 punti, uno all'inizio dell'intervallo di riferimento, 2 al centro e uno alla fine.

dove i valori ,,, sono dati dalle relazioni

In questo caso (con i=1,2,3,4) rappresenta un vettore con componenti , che rappresentano rispettivamente l'incremento lungo la fase stimata e quello lungo la seconda variabile di stato . Quindi nel caso del PLL descritto precedentemente le formule di Runge-Kutta si specializzano così:

dove i vari incrementi vengono forniti dalle seguenti relazioni:

Il diagramma a blocchi è un poco più complicato del precedente. In questo schema, come si vede in figura 4, il tempo di campionamento rimane invariato. La fase da stimare viene riportata invariata all'ingresso dei 4 blocchi , i quali producono, attraverso approssimazioni successive, altrettante stime degli incrementi . Gli incrementi, pesati dai coefficienti del metodo di Runge-Kutta, vengono inviati al sommatore, che restituisce il valore aggiornato delle variabili di stato .

Inoltre, ogni incremento, tranne l'ultimo, viene inviato al blocco successivo e sommato al valore corrente delle variabili di stato. In questo modo, abbiamo a disposizione valori degli incrementi calcolati in 4 diversi punti. Con questo  meccanismo, come vedremo, il PLL di Runge-Kutta è in grado conservare le caratteristiche del PLL analogico per un range dei parametri di progetto, più ampio rispetto a quello del PLL ottenuto con il metodo di Eulero.

Figura 4 Schema di principio di un PLL progettato con il metodo di Runge-Kutta.

Il blocco (figura 5) è poco dissimile dal PLL digitale ottenuto con il metodo di Eulero, e contiene tutte le non-linearità del sistema; le differenze si esauriscono nel numero delle uscite, che in questo caso sono i due incrementi , e nel meccanismo di retroazione, che viene sviluppato in verticale, tra un blocco e un altro. I coefficienti sono quelli che si desumono dalle tavole di Butcher.

Figura 5 Blocco del PLL di Runge-Kutta

Anche in questo caso, se possiamo approssimare il seno con il suo argomento e quindi rendere lineari l'equazioni che rappresentano il PLL.

Partendo da queste equazioni possiamo trovare la funzione di trasferimento del PLL. Questo calcolo è stato effettuando ricavando dal primo sistema d'equazioni e sostituendolo nel secondo per calcolare . Procedendo per sostituzioni successive fino a trovare in funzione delle sole variabili di stato del sistema si ottiene:

Dopo di che si sommano i risultati trovati, pesati dall'opportuno coefficiente , che si ricava anch'esso dalla tavola di Butcher; trascurando i passaggi algebrici, si ottiene la legge che regola l'aggiornamento delle variabili di stato:

Per semplicità poniamo

E quindi, passando nel dominio delle trasformate Z, si ottiene:

Con pochi passaggi si ottiene la funzione di trasferimento della fase :

In figura 6 è riportata la funzione di trasferimento del PLL di ottenuto con il metodo di Runge-Kutta per diversi valori di (linea continua), ed è confrontata con quella ottenuta precedentemente con il metodo di Eulero (linea tratteggiata).

Figura 6 Funzione di trasferimento

Come si può facilmente vedere le funzioni di trasferimento del PLL implementato con i due metodi sono pressoché identiche per valori di molto piccoli; si può inoltre notare come, per crescenti, la funzione di trasferimento del PLL ottenuto con il metodo di Eulero perda prima la caratteristica di filtro Passa-Basso rispetto al PLL ottenuto con Runge-Kutta.

Limiti di validità del metodo numerico

Una volta ottenuto le funzioni che regolano il funzionamento dei PLL digitali è utile stabilirne i limiti di validità, cioè valutare per quale range dei parametri di progetto il PLL digitale funziona con le stesse prestazioni del PLL analogico.

Per far questo, consideriamo le equazioni di stato del PLL analogico:

Supponendo l'ingresso nullo, la matrice Jacobiana, calcolata nel punto di equilibrio

e data da

quindi, il polinomio caratteristico è

per cui gli autovalori di J sono:

poiché nei casi di interesse pratico ,

.

Affinché il metodo di Eulero sia stabile occorre che

visto che l'argomento della radice è positivo per , possiamo elevare tutto al quadrato trovando

E quindi, affinché il metodo applicato al PLL analogico sia stabile occorre che .

Per il metodo di Runge-Kutta, invece la regione di stabilità è data da :

La funzione è rappresentata in figura 7,

Figura 7  valutata per

Come si vede, a parità di intervallo di campionamento T, il PLL di Runge-Kutta perde la proprietà della stabilità numerica per un valore di circa doppio, se confrontato con il PLL ottenuto con il metodo di Eulero.

La dipendenza del valore massimo di ammissibile dall'elongazione, , è rappresentata in figura 8

.

Figura 8 Massimo valore accettabile per la stabilità numerica

Banda equivalente del PLL

Come abbiamo visto in precedenza, una caratteristica fondamentale, di cui tener conto in fase di progettazione, è la banda equivalente di rumore . Se, infatti, da un lato, una piccola banda equivalente consente di ottenere una reiezione del rumore ottimale, dall'altro fa aumentare notevolmente il tempo di acquisizione. Occorre, perciò, trovare un giusto compromesso tra velocità di acquisizione e banda del filtro di anello.

Il calcolo di è stato effettuato valutando numericamente l'integrale:

dove .

I risultati sono riportati in figura 9.

Figura 9 Banda equivalente di rumore per T=1.

In figura è riportato anche l'andamento della banda equivalente di rumore in un PLL analogico, che è dato da

.

Si vede come la banda equivalente di rumore di un PLL realizzato con il metodo di Runge-Kutta è molto vicina a quella di un PLL analogico per un range di valori di più ampio rispetto a quelli di un PLL realizzato con le formule di Eulero, in perfetto accordo con i risultati ottenuti nel precedente paragrafo. Infatti, come si vede dal grafico, il valore di diverge per nel caso in cui si usi il metodo di Eulero, mentre per Runge-Kutta si ha .