Il teorema di Fisher e Weil

Il teorema di Fisher e Weil

Tradizionalmente, per caratterizzare l'equilibrio finanziario di portafogli di puro investimento, ci si riferisce al teorema di immunizzazione di Fisher e Weil, che è formulato, nell'ipotesi classica, utilizzando il «valore terminale» (e non il valore attuale, come invece nel paragrafo precedente) del flusso di cassa (come sappiamo, noto con certezza) generato dal portafoglio, relativo (il valore terminale) al periodo di attività dell'investitore; per cui in questo caso un portafoglio di titoli obbligazionari si dice immunizzato da uno shift additivo, su un certo orizzonte temporale, se il «reddito» (totale) prodotto a fine periodo (reddito da reinvestimento + valore di smobilizzo), nel caso abbia avuto effetto lo shift, è comunque non-minore del «reddito» (totale) che sarebbe stato prodotto in assenza di shift.

Con formulazione equivalente, in termini di rendimento (holding period return), se il portafoglio è immunizzato, il rendimento ex-ante (il cosiddetto rendimento programmato) è non-minore del rendimento ex-post.

La definizione di immunizzazione finanziaria, nel senso di Fisher e Weil, può essere riformulata nello schema di Redington (con riferimento ai valori attuali) considerando un portafoglio composto dal flusso attivo x, generato dai redditi dei titoli, e da un flusso passivo costituito da un unico importo, esigibile in una scadenza prefissata.

Il portafoglio totale è in equilibrio, nell'istante di valutazione t, se il valore attuale del flusso di investimento (attivo) è uguale al valore dell'unica posta passiva (liability); risulterà immunizzato, rispetto ad uno shift additivo della struttura dei rendimenti che abbia effetto in t⁺, se il «valore (attuale) netto», nell'istante successivo allo shift, sarà non-negativo.

Il problema di caratterizzare un portafoglio di puro investimento (portafoglio titoli) che abbia reddito immune dall'effetto di shift additivi, su un «orizzonte strategico prefissato», è equivalente al problema di costruire un portafoglio attivo a copertura di un'unica uscita (target di reddito) localizzata nell'istante «finale» dell'orizzonte strategico (dell'investitore).

Il teorema di immunizzazione di Fisher e Weil può essere quindi riformulato nella forma del seguente teorema.

TEOREMA 1

Sia:

(t,s) l'intensità istantanea di interesse corrispondente alla struttura a termine osservata al tempo t,

L > 0 un importo esigibile (liability) al tempo H > t,

x un flusso di importi non negativi con scadenze t_l, t₂, , t_m

( t < t_l ≤ t₂ ≤ ≤ t_m), il cui valore al tempo t uguagli il valore al tempo t di L :

W(t, x) = W(t, L).

Nell'ipotesi che la curva dei rendimenti subisca, nell'istante t⁺ immediatamente successivo a t, uno shift additivo di ampiezza aleatoria (eventualmente nulla), allora il valore post-shift del flusso x sarà non-minore del valore post-shift di L :

W(t⁺,x) ≥ W(t⁺,L)

se e solo se la durata media finanziaria (duration) di x, calcolata al tempo t, è uguale alla maturity di L (cioè H - t):

D(t,x) = H - t .

Condizione (1). La condizione (1) pone un «vincolo di bilancio» fra i flussi attivo x e passivo L, garantendo la copertura, cioè la disponibilità dell'importo L al tempo H, nell'ipotesi di struttura a termine stabile (assenza di shift: Y= 0).

Condizione (2). Se la struttura a termine subisce uno shift additivo in t⁺, la disponibilità di L in H resta garantita se il valore del portafoglio di copertura dopo lo shift è non-minore del corrispondente valore della liability, cioè se è soddisfatta la «condizione di immunizzazione» (2).

Condizione (3). In questo senso, il TEOREMA 1 fornisce, con la «condizione di duration» (3), una regola costruttiva per la selezione di un portafoglio x, che sia immunizzato rispetto a shift di tipo additivo (con effetto in t⁺) della struttura a termine delle intensità di interesse.