La legge oraria dell'espansione cosmica

La legge oraria dell'espansione cosmica

Dall'equazione che fornisce l'energia totale dell'universo () è possibile ottenere una funzione R(t) che leghi il raggio dell'universo al tempo t, in modo tale da poter rappresentare graficamente i 3 modelli espansivi.

Le 3 curve che si ottengono sono riportate nel grafico e poste a confronto con una retta di equazione

 

che possiede come pendenza la velocità di espansione supposta costante (v = H_oR_o) e che interseca l'asse delle ordinate in corrispondenza del raggio attuale R_o e l'asse delle ascisse al tempo 1/H_o

Tale retta descrive evidentemente un ipotetico universo in espansione non frenata e quindi senza materia al suo interno.

Le altre 3 curve, rappresentando moti espansivi che in passato sono stati più rapidi, devono necessariamente intersecare l'asse delle ascisse in punti compresi tra 1/H_o ed il presente.

Come si può osservare l'unica curva per la quale è possibile calcolare il punto di intersezione con l'asse del tempo è quella che descrive un universo in cui l'energia cinetica è esattamente uguale all'energia potenziale. In tal caso infatti si assume che la densità dell'universo sia nota e pari alla densità critica ed è perciò possibile calcolare in modo preciso l'effetto frenante della materia sull'espansione. E' così possibile calcolare sia la legge oraria R(t), che la dipendenza della densità e di H dal tempo [r(t), H(t)].

Si dimostra ad esempio che il valore di H non è in realtà costante, ma è inversamente proporzionale al tempo, secondo la relazione

Infatti in tal caso, essendo , la velocità di espansione dell'universo  è

ricordando che la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo , possiamo riscrivere la relazione precedente

che integrata diventa

riordinando si ottiene

  

Al crescere del tempo t il raggio dell'universo è quindi destinato a crescere indefinitamente secondo una legge oraria del tipo

Esprimendo al solito la massa M in funzione della densità di materia otteniamo la relazione che ci descrive come varia  con il tempo

Ricordando poi che in questo modello l'universo possiede esattamente la velocità di fuga e quindi  _o = _c  ( = 1), possiamo sostituire con il valore della densità critica () trovato in precedenza, ottenendo la dipendenza di H dal tempo

Utilizzando il valore attuale per la costante di Hubble (H_o = 100h) troviamo allora il tempo (t_o) trascorso dall'inizio dell'espansione ad oggi in un universo in equilibrio dinamico (E_c = E_p

Ricordando che  si ottiene

In altre parole un universo critico avrà un'età compresa (in funzione del valore di h) tra 6,5 e 13 miliardi di anni.

Un universo chiuso deve avere un'età indefinita inferiore a .

Un universo aperto deve avere un'età indefinita compresa tra  e .