Ere cosmiche

Ere Cosmiche

Per determinare la funzione T(R) che lega la temperatura T ad R durante l'espansione si ricorre alla relazione adiabatica, dal momento che l'universo viene considerato un sistema isolato che non scambia energia con l'esterno.

dove g è il rapporto tra il calore specifica a pressione costante ed il calore specifico a volume costante.

Per la radiazione g = 4/3. Per la materia g

Poiché durante la prima fase dell'espansione  la 57) diventa

Durante l'era della radiazione la temperatura sia della radiazione che della materia (la materia è in equilibrio termodinamico con la radiazione ed ha pertanto la sua stessa temperatura) è inversamente proporzionale al fattore di scala R. Ogni volta che l'universo raddoppia le sue dimensioni la sua temperatura si dimezza.

Quando successivamente l'equilibrio termico tra radiazione e materia viene a mancare, la materia si separa dalla radiazione (si disaccoppia) e la sua temperatura varia in modo indipendente e con una legge diversa

il che significa che da un certo punto in poi la materia inizia a raffreddarsi più rapidamente della radiazione ed ora dovrebbe presentare una temperatura notevolmente inferiore ai 2,7° K che caratterizzano attualmente la radiazione cosmica.

Per stimare i tempi cosmici in corrispondenza dei quali si verificano gli eventi termici di cui parleremo è necessario determinare una funzione T(t) che leghi la temperatura al tempo.

Ricordando che per l'era della radiazione ed , tale funzione deve essere del tipo

Durante i primissimi istanti di espansione la densità di energia della radiazione è dovuta non solo alla componente fotonica, ma anche alla componente neutrinica ed elettronica che a quelle temperature si comportano come particelle relativistiche. Si può dimostrare che ciascuna di queste due ultime componenti aumenta la densità di energia della radiazione di una quantità pari ai 7/4 del contributo fotonico. Possiamo perciò scrivere

Applicando la legge di Stefan Boltzmann e convertendo la densità di energia in densità di massa equivalente si trova

Ricordando ora che durante l'era della radiazione e che

possiamo eguagliare i secondi membri della 61) e della 62) ottenendo

Tale relazione può essere utilizzata per 'datare' le soglie termiche durante le primissime fasi dell'espansione, almeno fino a quando la componente fotonica, elettronica e neutrinica rimangono accoppiate in equilibrio termico.

Era di Planck 0 - 10 s

Finora i fisici sono riusciti a descrivere i primi istanti di vita dell'universo risalendo fino al tempo 10 s (tempo di Planck). A tempi inferiori gli effetti gravitazionali si intrecciano a tal punto con gli effetti quantistici da rendere necessaria una teoria unificata della gravità quantistica per ora non ancora disponibile.

Il tempo di Planck può essere ricavato in modo approssimato tramite considerazioni elementari.

Si consideri una fluttuazione quantistica in cui in un intervallo di tempo t si produca una indeterminazione energetica DE tale che

1a) 

La fluttuazione è in grado di materializzare una coppia di particelle virtuali di massa

2a)  

Se tali particelle si formano in un universo il cui raggio R è talmente contratto da coincidere con il raggio di Schwarzschild della particella, essa è destinata a trasformarsi in un buco nero.

3a)  

Esprimiamo ora il raggio di Schwarzschild della particella in funzione del tempo impiegato dalla luce a percorrerlo  R_s = ct ed esplicitiamo la massa della particella

4a) 

sostituiamo la massa così trovata nella 2a)

5a)  

sostituiamo infine l'indeterminazione energetica nella 1a)

6a) 

dalla quale, riordinando, si ottiene

7a) 

In pratica a tempi inferiori a circa 10 s pure fluttuazioni quantistiche possono produrre particelle destinate a collassare in un buco nero. Gli effetti quantistici e gravitazionali si influenzano reciprocamente

Sostituendo il tempo di Planck nella 63) troviamo che la temperatura dell'universo è dell'ordine di 10 °K (10 eV), temperatura oltre la quale si ritiene che tutte le 4 forze fondamentali di natura siano unificate in un'unica 'superforza' che agisce indifferentemente su tutte le particelle.

L'unica teoria che attualmente si avventura nell'era di Planck  è la teoria delle supercorde o teoria del tutto (Theory of Everything -TOE). Tale teoria descrive tutte le particelle come corde di dimensioni infinitesime (10 cm). Ogni modo di vibrazione di tali corde determina l'energia e quindi la massa della particella.

Era di Grande Unificazione s

L'universo emerge dal tempo di Planck costituito da un gas di particelle quantistiche formate da lepto-quark e bosoni X (e forse partners supersimmetrici), i vettori intermedi della forza di Grande Unificazione.  I gravitoni, se esistono, si sono già separati ed agiscono in modo autonomo.

L'enorme energia che caratterizza tale gas permette alle particelle quantistiche di convertirsi liberamente le une nelle altre. In altre parole, a parte l'interazione gravitazionale, che si è già separata al tempo di Planck, le rimanenti tre interazioni (elettromagnetica, forte e debole) sono ancora unificate e i bosoni che le mediano sono in realtà indistinguibili l'uno dall'altro. L'unione della forza elettromagnetica, debole e forte in un'unica interazione viene oggi descritta da una serie di modelli della fisica delle particelle noti come teorie di Grande Unificazione o GUT.

A circa 10 °K (10 eV), corrispondenti al tempo cosmico 10 s si separa l'interazione forte (si formano i gluoni) che comincia ad agire sui quark (i quali a loro volta si distinguono ora dai leptoni), senza peraltro riuscire a legarli ancora in modo permanente per formare gli adroni.

Le teorie di Grande Unificazione prevedono che durante tale separazione si producano dei 'difetti' nello spazio-tempo.

E' una situazione analoga a quella che si produce quando un liquido cristallizza e regioni diverse del liquido iniziano a solidificare in modo autonomo, con diversa e casuale orientazione degli assi cristallografici. Quando tali regioni si incontrano, si producono dei difetti localizzati nei punti di confine. Nelle teorie di grandunificazione esistono difetti puntiformi, che corrispondono ai monopòli magnetici (strutture associate a poli magnetici isolati) , lineari (stringhe o corde cosmiche) e superficiali (pareti di Bloch o di dominio).

Ci si attende che tali difetti siano stabili ed estremamente massicci (si può ad esempio calcolare che  un monopolo magnetico assuma massa pari a 10 volte quella del protone).

Inoltre i calcoli prevedono un numero talmente grande di tali difetti che la loro massa sarebbe ora preponderante su quella di qualsiasi altro oggetto conosciuto. Tali strutture non sono state finora mai rivelate.

Un'altra previsione teorica di grande interesse riguarda l'attuale asimmetria cosmica che si rileva tra materia ed antimateria. Secondo le GUT i bosoni X residui non decadono infatti in quark e antiquark e in leptoni e antileptoni in modo simmetrico. La teoria prevede infatti che si formi un lieve eccesso di Quark rispetto agli Antiquark e di Leptoni rispetto agli Antileptoni.

In questo modo quando nelle fasi successive materia ed antimateria si annichiliscono formando fotoni, il piccolo eccesso di materia formatosi in questo momento sarà in grado di sopravvivere e formerà la materia prima per stelle e galassie. La teoria non è in grado di calcolare in modo preciso quanta materia è in grado di sopravvivere, ma ci fornisce una stima del rapporto tra numero di fotoni (che si formano dall'annichilazione) e numero di particelle di materia, pari a

Il valore previsto teoricamente per tale rapporto, detto anche entropia specifica dell'universo, trova buone conferme sperimentali nelle attuali misurazioni.

Il numero di protoni per unità di volume può essere stimato dividendo la densità effettiva () per la massa del protone (m_p g)

Nell'ipotesi di un universo euclideo ( W = 1) e con H_o = 55 km/(s Mpc) la 64) fornisce 3,4 10 protoni/cm (poco più di un protone per metro cubo di universo).

Il numero di fotoni per unità di volume può essere ottenuto integrando opportunamente la relazione di Planck espressa come densità di energia.

poiché ciascun fotone possiede un'energia e = hn, per ottenere il numero di fotoni con frequenza npresenti nell'unità di volume, dividiamo la 65) per hn

Integrando ora la 66) rispetto alla frequenza otteniamo il numero totale di fotoni (di tutte le frequenze) presenti nell'unità di volume alla temperatura T.

67)

per T = T_o = 2,726 °K la 67) fornisce circa 411 fotoni/cm

L'entropia specifica dell'universo in tal modo stimata risulta pertanto 411 / 3,4 10 in buon accordo con il valore teorico.

L'entropia specifica dell'universo è un parametro estremamente critico per l'esistenza dell'universo come noi lo conosciamo.

Si dimostra infatti che è sufficiente variare in misura minima il valore del rapporto per cambiare in modo radicale l'evoluzione e la struttura dell'universo.

Se infatti il numero di fotoni fosse stato inizialmente inferiore, la pressione di radiazione da essi esercitata non sarebbe stata in grado di tenere separati i barioni urtandoli di continuo. I barioni si sarebbero perciò combinati molto precocemente e con maggior efficienza formando rapidamente nuclei di elementi chimici pesanti a scapito di quelli più leggeri.

L'universo sarebbe oggi praticamente privo di idrogeno e di elio, e quindi di stelle, formato da enormi massi di elementi pesanti alla deriva nello spazio.

Con un numero di fotoni eccessivo l'universo sarebbe invece formato praticamente di solo idrogeno. Ma quel che più conta l'eccesso di fotoni avrebbe impedito alle perturbazioni gravitazionali della materia di crescere, disperdendole continuamente. Le galassie non si sarebbero potute formare ed oggi l'universo sarebbe costituito ancora di una distesa omogenea di idrogeno.

Era dell'Inflation s

La teoria dell'inflation, formulata nella sua forma originaria da A. Guth nel 1980, ha il pregio, come afferma lo stesso Guth, di trasformare qualsiasi universo (o quasi) in quello attualmente osservabile, risolvendo in tal modo parecchi problemi che affliggono i modelli cosmologici classici.

Guth dimostrò che quando la temperatura raggiunse valori intorno a 10 °K (10 eV) l'universo potrebbe essersi trovato in una condizione metastabile, denominata di falso-vuoto.

Il falso vuoto ha alcune particolarità fisiche di notevole interesse cosmologico. La sua densità di energia  r_fv rimane costante durante l'espansione. Inoltre presenta una pressione negativa uguale in valore assoluto alla sua densità di energia

In una situazione di tal genere, in cui la densità di energia del falso vuoto è prevalente, la densità di energia totale diventa

Una densità di energia negativa viene ad avere un effetto repulsivo antigravitazionale ed agisce pertanto in modo analogo alla costante cosmologica, il parametro introdotto (e poi sconfessato) da Einstein per giustificare l'esistenza di un universo statico.

Ma in un universo già in espansione come il nostro, questa specie di costante cosmologica avrebbe l'effetto di aumentare a dismisura la velocità di espansione, producendo in definitiva un'espansione esponenziale o inflazione. L'accelerazione a cui è sottoposto l'universo vale pertanto

69)

Essendo poi

La costante di Hubble durante l'inflazione (H_i) varrà

Ricordando inoltre che la densità di energia del falso vuoto rimane costante durante l'espansione anche la costante di Hubble non varierà il suo valore durante l'espansione esponenziale. Poiché dunque H_i non dipende da R possiamo integrare direttamente la relazione di Hubble

per ottenere la legge oraria. Esprimiamo v come dr/dt e riordiniamo

72)

Ricordando che, la 71) integrata porge

73)

Se, per semplicità, fissiamo l'origine della scala dei tempi in modo che t = 0 coincida con il tempo presente, la costante di integrazione vale ln R_o (con R_o raggio attuale dell'universo) ed in definitiva

74)

Relazione analoga a quella ottenuta da De Sitter

Essendo possibile determinare per via teorica la densità di energia del falso vuoto che risulta essere di circa 10 erg/cm , la 70) fornisce un valore H_i s

La densità di energia può essere teoricamente stimata come rapporto tra l'energia caratteristica di un quanto GUT (E_GUT 10²³ eV = 1,6 10¹¹ erg) ed il cubo delle sue dimensioni caratteristiche (il principio di indeterminazione  ci fornisce le dimensioni caratteristiche di un quanto avente energia E = mc², pari a ).

La densità di energia caratteristica della scala GUT sarà pertanto dell'ordine di

Il modello prevede che nell'intervallo di tempo compreso tra t e t secondi l'universo aumenti le proprie dimensioni almeno di un fattore 10 . Infatti sostituendo nella 73) i tempi indicati e calcolando il rapporto tra i rispettivi fattori di scala si ottiene

75)

Tra le diverse questioni lasciate in sospeso dai modelli cosmologici classici, l'inflation dà risposta al problema della piattezza, dell'orizzonte e dei monopoli magnetici.

Il problema dell'orizzonte e della piattezza non rappresentano in realtà una contraddizione vera e propria dei modelli classici. E' infatti sufficiente assumere l'uniformità e W = 1 come condizione iniziale dell'universo e l'universo si evolverà uniformemente ed in modo euclideo.

Naturalmente un modello che debba accontentarsi di assumere alcune condizioni come date, senza riuscire a darne spiegazione, risulta meno soddisfacente di uno che possa giustificare l'esistenza di tutte le caratteristiche cosmiche osservate.

Per quanto riguarda il problema della piattezza riconsideriamo la 46) e vediamo come varia il denominatore del rapporto a secondo membro durante l'espansione inflazionaria.

Durante l'inflation H rimane costante, mentre R = e^Ht e quindi R = e^2Ht. Il denominatore aumenta quindi in modo esponenziale il suo valore

ed il rapporto, essendo k costante, decresce quindi con lo stesso ritmo

ciò significa che se durante l'espansione R aumenta di un fattore 10 la differenza di W rispetto a 1 diminuisce di un fattore 10 . Il risultato è che qualsiasi sia il valore di W prima dell'inflazione esso sarà praticamente 1 dopo l'inflazione, poiché il rapporto diminuisce in modo talmente drastico da essere alla fine praticamente trascurabile.

L'immensa regione di spazio che oggi noi chiamiamo universo corrisponderebbe dunque ad una porzione estremamente piccola di uno spazio-tempo dilatato enormemente dall'espansione inflativa.

Tale spazio ci appare piano allo stesso modo in cui sembra piana la terra vista in una sua piccola porzione superficiale. In tal modo noi siamo costretti ad osservare uno spazio piatto indipendentemente dalla curvatura che poteva inizialmente possedere l'universo.

Il problema si è ora per certi versi addirittura capovolto, nel senso che se l'inflation prevede che W sia pari ad 1, dobbiamo in qualche modo cercare di giustificare perché noi in realtà misuriamo valori inferiori. E' il cosiddetto problema della massa mancante, che potrebbe comunque trovare soluzione tramite il gran numero di particelle esotiche la cui esistenza è prevista dalle GUT e dalle teorie supersimmetriche (neutrini, gravitini, fotini, assioni etc.).

Per ciò che riguarda il problema dell'orizzonte l'universo che entra nella fase inflativa sarebbe enormemente più piccolo di quanto precedentemente previsto (circa di un fattore 10

In precedenza avevamo calcolato con la 48) le dimensioni previste dai modelli cosmologici classici per la porzione di universo attualmente osservabile, riferite al tempo 10 s (inizio dell'inflation). Essa era pari a circa 4 cm contro una distanza-orizzonte riferita al medesimo istante di circa 3 10 cm.

Ora se accettiamo che le dimensioni dell'universo preinflativo siano 10 volte inferiori a quanto precedentemente calcolato, la porzione di universo attualmente osservabile avrebbe avuto dimensioni pari a 4 10 cm. In questa situazione la distanza orizzonte era allora ben 10 volte superiore delle dimensioni dell'universo oggi osservabile.

L'universo preinflativo sarebbe perciò sufficientemente piccolo da permettere alla luce di viaggiare da un capo all'altro più volte, risolvendo il problema dell'orizzonte. Infatti tutti gli eventi compresi nell'universo osservabile e attualmente non connessi, lo erano prima dell'inflation, poiché compressi in una regione sufficientemente piccola.

La curva R(t) andrebbe quindi così modificata

Anche il problema dei monopoli magnetici ed in generale di tutte le strutture massicce (corde cosmiche, pareti di dominio) che secondo le teorie di Grande Unificazione si sarebbero dovute formare in quantità tali da essere oggi facilmente osservabili viene risolto in modo estremamente semplice dall'inflation. Infatti l'aumento di un fattore 10 delle dimensioni cosmiche produce una diluizione formidabile su tali strutture, al punto da rendere la loro densità (numero per unità di volume) talmente piccola da essere compatibile con le osservazioni.

Era Elettrodebole o del Deserto s

L'interazione elettrodebole rimane unificata fino a 10 °K (10 eV), temperatura che viene raggiunta al tempo cosmico 10 s.   Alla fine dell'era i bosoni deboli che trasportano la forza debole (W e Z^o) iniziano a separarsi dai fotoni, acquisendo massa. Se confrontiamo l'intervallo di temperature (e quindi di energia) che caratterizza questa era con quello delle altre ere, possiamo notare come sia estremamente ampio. Poiché in questo lasso di tempo non accade nulla di particolarmente rilevante molti fisici parlano di deserto di gauge (i modelli matematici che descrivono le interazioni sono teorie di gauge).

Era Adronica 10 s

Alla temperatura di circa 10 °K corrispondente al tempo cosmico 10 s i gluoni colorati iniziano a legare permanentemente i quark formando gli adroni di massa maggiore (adronizzazione).

Si formano adroni ed antiandroni, con un leggero eccesso dei primi sui secondi come previsto dalle GUT.

Gli adroni più pesanti non sono stabili (oggi li creiamo artificialmente negli acceleratori) e man mano che la temperatura diminuisce decadono negli adroni più leggeri.

Al tempo cosmico 10 s iniziano a formarsi  gli adroni più leggeri e stabili (protoni e neutroni).

Alla temperatura di 10 ^oK (10 eV), corrispondente al tempo cosmico 10 s viene raggiunta la soglia dei protoni e termina l'era adronica. Al di sotto di tale temperatura i fotoni non sono infatti sufficientemente energetici per produrre coppie protone/antiprotone.

Durante l'era adronica i fotoni erano in equilibrio termodinamico con gli adroni e la velocità di produzione era pari alla velocità di annichilazione.

Al termine dell'era adronica la produzione cessa, mentre continua l'annichilazione con formazione di fotoni.

Era Leptonica 10 s

Sotto i 10 ^oK i fotoni possiedono ancora energia sufficiente per creare coppie leptone/antileptone (naturalmente le coppie leptone/antileptone si formavano anche in precedenza).

Il gas quantistico è ora formato da una miscela di fotoni, tauoni, muoni, elettroni con i rispettivi neutrini (e le rispettive antiparticelle) ed una piccola quantità di protoni e neutroni (inizialmente in egual numero), residuo dell'era precedente.

Man mano che la temperatura scende i leptoni più pesanti (tauoni e muoni) decadono nel leptone più leggero (l'elettrone). I neutrini tauonici e muonici invece si conservano e dovrebbero essere presenti ancor oggi in numero enorme nell'universo (qualche centinaio/cm³).

Durante l'era leptonica è previsto il disaccoppiamento dei neutrini dal fluido cosmico. Il momento del disaccoppiamento dei neutrini non è determinato in modo preciso poiché dipende dal tipo di interazioni che i neutrini producono con le altre particelle, non ancora completamente chiarito.

Da questo momento la radiazione dei neutrini partecipa in modo autonomo all'espansione dell'universo e la sua temperatura diminuisce indipendentemente da quella della radiazione (sempre con la stessa legge RT = cost).

Poco dopo il disaccoppiamento dei neutrini viene raggiunta la temperatura di soglia degli elettroni.

A 5 10 ^oK (5 10 eV), corrispondente a circa 10 s dopo il big bang, i fotoni non hanno più energia sufficiente per produrre coppie elettrone/positrone.

Al di sotto di 5 10 ^oK anche elettroni e positroni si annichilano producendo fotoni in numero enorme. Termina l'era leptonica ed inizia l'era fotonica.

Si può dimostrare che l'annichilazione elettrone-positrone, aumentando la densità dei fotoni, ne aumenta la temperatura, ma non quella dei neutrini ormai disaccoppiati. Dopo l'annichilazione deve valere la seguente relazione

Il che significa che se potessimo oggi misurare la temperatura del fondo di neutrini dovremmo trovarla circa 1,4 volte inferiore rispetto a quella dei fotoni. Se i fotoni presentano oggi una temperatura di 2,726 °K i neutrini dovrebbero presentare una temperatura di 1,946 °K.

Era fotonica 10 s

Dopo il disaccoppiamento dei neutrini e l'annichilazione degli elettroni/positroni la densità di radiazione è dominata completamente dalla componente fotonica. La 61) diventa pertanto

che eguagliata alla 62)   fornisce

relazione che può essere usata per stimare i tempi cosmici in funzione delle soglie termiche durante le rimanenti fasi dell'era della radiazione.

Il piccolo numero di elettroni che sopravvive è pari al numero di protoni sopravvissuto nell'era adronica (nell'ipotesi che la carica elettrica totale dell'universo, una grandezza che si conserva, fosse inizialmente nulla).

Durante il primo minuto e mezzo dell'era fotonica si situa il periodo della nucleosintesi, durante il quale protoni e neutroni trovano le condizioni per fondersi formando in prevalenza He, tracce di Deuterio, Litio e Berillio. Poiché i neutroni isolati non sono stabili, essendo leggermente più pesanti dei protoni, tendono a trasformarsi, attraverso un decadimento beta, nei protoni in un tempo medio di circa 10³ s. Si tratta di un lasso di tempo eccessivamente lungo se paragonato all'intera durata dell'era adronica, quindi non tutti i neutroni riescono a decadere ed arrivano in parte integri alla fase di nucleosintesi, dove possono salvarsi dalla completa estinzione unendosi ai protoni per formare nuclei di elementi leggeri. I fisici calcolano che il rapporto neutroni/protoni durante la fase di nucleosintesi sia di 1/7.

In base a tale rapporto è possibile calcolare le proporzioni di elementi leggeri che si sono formati durante la nucleosintesi primordiale ed in particolare si calcola che l'Elio deve essersi formato nella percentuale del 25% in peso.

In generale le quantità dei diversi elementi leggeri formatisi durante la nucleosintesi, calcolati per via teorica, trovano buone conferme nelle misure odierne delle abbondanze degli elementi chimici nell'universo. La nucleosintesi termina quando la temperatura scende sotto 5 10 °K, circa 100 secondi dopo l'inizio del Big Bang.

L'era fotonica termina assieme all'era della radiazione, convenzionalmente quando la densità di materia eguaglia e supera la densità di massa equivalente alla radiazione.

Per determinare quando ciò avviene troviamo una relazione che leghi la densità di materia alla temperatura della radiazione.  Dalla 7) e ricordando che T_rad R = cost, possiamo scrivere

esprimiamo ora la densità di materia in funzione della densità critica e riscriviamo la 78)

stimiamo la costante sostituendo la densità critica attuale (per H_o = 55 km/(s Mpc)) e la temperatura attuale della radiazione T_o = 2,726 °K

la 78) diventa

79)

Calcoliamo ora a che temperatura la densità di materia eguaglia la densità di massa equivalente alla radiazione eguagliando i secondi membri della 79) e della 76)

80) T = W 33.254 °K

Nell'ipotesi che W = 1 tale temperatura viene raggiunta al tempo cosmico 10 s (circa 10.000 anni)

Era della Materia 10 s

Quando la temperatura dell'universo scende a circa 10 ^oK (3-5000 ^oK)  il plasma di particelle che formava l'universo è sufficientemente freddo da poter dar vita ad un gas di atomi neutri. In precedenza i fotoni erano sufficientemente energetici da ionizzare immediatamente qualsiasi atomo neutro si formasse. Gli elettroni ed i nuclei si legano definitivamente attraverso un processo detto di ricombinazione. Utilizzando la 77) possiamo calcolare che ciò avviene intorno a 10 s (circa 300.000 - 600.000 anni)

Gli elettroni perdono inoltre in tal modo la loro funzione di mantenere l'equilibrio termodinamico tra fotoni e materia. I fotoni si sganciano definitivamente dalla materia con la quale fino a quel momento scambiavano continuamente energia grazie alla mediazione degli elettroni. La separazione tra materia e radiazione è detta disaccoppiamento .

Fino a quel momento i fotoni erano impregnati nel plasma come all'interno di una spugna, mentre durante il disaccoppiamento la materia libera i fotoni che d'ora in poi condurranno vita autonoma. Si usa descrivere il fenomeno dicendo che la materia diviene trasparente alla radiazione.

L'universo che fino a quel momento sarebbe apparso ad un ipotetico osservatore completamente privo di luce, si accende con un flash rossastro. Si libera in questo momento la radiazione di fondo che oggi noi misuriamo ad una temperatura di 2,726 ^oK.

Mentre la radiazione continua a raffreddarsi durante l'espansione secondo la relazione TR = cost, la materia disaccoppiata si raffredda secondo la relazione 59) TR = cost

Ricordando che , la 59) può essere scritta . Durante l'era della materia deve valere dunque la relazione con la quale possiamo calcolare la temperatura che dovrebbe possedere attualmente la materia

nell'ipotesi che al momento del disaccoppiamento (t s) la radiazione (e quindi anche la materia) avesse una temperatura di 3.000 °K

Le fluttuazioni casuali di densità presenti in seno alla materia, non più disturbate ed annullate dai fotoni, sono ora libere di crescere sotto l'effetto della loro stessa gravità. Ma per quanto il processo avvenga rapidamente i calcoli mostrano che non vi è tempo sufficiente per arrivare da queste alla formazione delle galassie.

Si tratta di un problema ancora irrisolto all'interno del modello del big bang.