Cosmologia newtoniana

Prima del '900 non si era mai tentato di applicare la meccanica newtoniana all'intero universo.

Vi era d'altra parte la ferma convinzione che l'universo fosse infinito e statico. E' infatti facile verificare che se l'universo fosse finito e soggetto ad un'unica forza attrattiva (la forza gravitazionale), su grande scala, questa non potrebbe che provocarne la 'caduta' verso il centro e quindi un movimento di contrazione.

Lo stesso Newton aveva portato questo argomento a dimostrazione dell'infinità dell'universo: solo un universo infinito è infatti senza un centro in cui cadere in assenza di forze centrifughe.

Ciononostante è possibile, sotto opportune condizioni semplificatrici, applicare la meccanica newtoniana all'intero universo. Immaginiamo di suddividere l'universo, costituito da un fluido materiale uniformemente distribuito, in una serie di gusci concentrici. Consideriamo ora una galassia di massa m posta sulla superficie di un guscio di raggio R.

Per una proprietà della forza gravitazionale, già dimostrata dallo stesso Newton, i gusci esterni non esercitano (per ragioni di simmetria) nessuna attrazione netta sul punto di massa m, il quale 'sente' solo la massa M contenuta nel guscio interno, come se essa fosse interamente concentrata nel centro a distanza R.

Il nostro universo newtoniano potrà pertanto ridursi ad una sfera di raggio R, volume V = e massa M uniformemente distribuita. Secondo la legge di Hubble, la galassia presenterà una velocità di recessione pari a

La sua energia cinetica sarà pari a

e la sua energia potenziale

Per il principio di conservazione dell'energia, l'energia totale (cinetica + potenziale) deve rimanere costante durante l'espansione   

Tale relazione ci permette di individuare 3 casi che producono 3 differenti modelli cosmologici

caso

L'energia cinetica supera l'energia gravitazionale. La forza gravitazionale non è in grado di fermare l'espansione la quale continuerà indefinitamente. L'universo si dice aperto.

caso

L'energia gravitazionale eguaglia l'energia cinetica. Ci troviamo in una situazione di perfetto equilibrio. La forza gravitazionale non è in grado di fermare l'espansione. La velocità di espansione continuerà a diminuire, tendendo a zero senza però annullarsi. Anche in questo caso l'universo si dice aperto.

3° caso

L'energia gravitazionale supera l'energia cinetica. La forza gravitazionale è in grado di fermare l'espansione. L'universo raggiungerà un punto di massima espansione, si fermerà e inizierà a contrarsi. L'universo si dice chiuso.

Possiamo osservare la stretta analogia con un proiettile che viene lanciato dalla terra. Se la sua energia cinetica eguaglia o supera l'energia gravitazionale esso è in grado di sfuggire al campo gravitazionale terrestre percorrendo un'orbita aperta (rispettivamente una parabola o un'iperbole).

Se la sua energia cinetica è inferiore all'energia gravitazionale esso risulta gravitazionalmente legato ed entra in un orbita chiusa intorno alla terra di tipo ellittico.

La velocità minima che il proiettile deve avere per vincere l'attrazione gravitazionale è detta velocità di fuga e si calcola facilmente dalla condizione di eguaglianza tra E_c ed E_p

Non conoscendo la massa totale M ed il raggio R dell'universo non possiamo calcolarne la velocità di fuga. E' comunque possibile convertire l'ultima relazione in una forma che contenga solo variabili accessibili alla misura: la densità di materia e la costante di Hubble H.

Poiché la densità di materia si calcola come rapporto tra massa e volume, avremo:

Esplicitando la massa M e sostituendo opportunamente si ottiene e ricordando che per la legge di Hubble avremo

Poiché tale relazione è stata ottenuta partendo dalla dalla condizione di eguaglianza tra E_c ed E_p, il valore della densità che in essa appare è un valore particolare: _c è infatti la cosiddetta densità critica, cioè la densità che l'universo avrebbe se la sua energia cinetica fosse eguale all'energia gravitazionale.

La densità critica ha dunque per l'universo la stessa funzione che la velocità di fuga ha per un proiettile.

Se ora sostituiamo ad H il valore attualmente misurato (H_o) otteniamo il valore attuale della densità critica.

Per un valore di H_o = 100 h km/(s Mpc) la densità critica presenta un valore attuale di 1,879 10 h g/cm . (per h = 0,5   _c g/cm

Evidentemente non è detto che l'universo si trovi in una situazione di perfetto equilibrio tra energia cinetica ed energia gravitazionale. In tal caso la densità effettiva che noi misureremo sarà diversa dalla densità critica che abbiamo calcolato. In linea di principio potremmo pertanto sapere se l'universo è aperto o chiuso confrontando il valore della densità critica con quello della densità effettiva attuale (_o

In modo del tutto analogo potremo prevedere il destino di un proiettile confrontando la sua velocità effettiva con la velocità di fuga.

Attualmente le misure di densità effettiva danno valori che si aggirano su 1/100 della densità critica. Se ciò fosse vero l'energia cinetica supererebbe l'energia gravitazionale e l'universo sarebbe destinato ad espandersi per l'eternità.

Vi sono comunque diverse obiezioni a questa conclusione.

- In primo luogo il valore della densità critica dipende dal valore misurato di H_o che, come abbiamo già detto presenta un'elevata incertezza ( 50 - 100 km/s Mpc).

- In secondo luogo la densità effettiva che noi misuriamo tiene conto per lo più della materia visibile, quella che emette luce. Potrebbe esistere nell'universo, e la maggior parte degli astronomi ne è convinta, parecchia materia non emittente (materia oscura) che potrebbe contribuire in modo decisivo ad innalzare il valore di _o (e a chiudere l'universo, come dicono gli astronomi).

Gli astronomi sono soliti indicare la densità dell'universo tramite il parametro di densità pari al rapporto tra la densità effettiva e la densità critica.

Naturalmente potrà assumere i seguenti valori

< 1 Universo aperto in espansione perpetua

= 1 Universo aperto in espansione perpetua (critico)

> 1 Universo chiuso destinato a collassare

In una descrizione newtoniana dell'espansione, gli effetti della materia presente nell'universo possono essere descritti anche attraverso l'entità della decelerazione prodotta.

La decelerazione può essere calcolata in modo semplice eguagliando la forza centrifuga () alla forza gravitazionale (). Si ottiene così

Ma in cosmologia tale decelerazione viene espressa tramite un parametro adimensionale detto parametro di decelerazione q. Per ottenere una quantità adimensionale, tale parametro viene costruito come rapporto tra l'accelerazione centripeta (gravitazionale) e quella centrifuga

ottenendo

dove, esprimendo al solito la massa M in funzione della densità, e la velocità un funzione della costante di H (grandezze accessibili alla misura) si ottiene

Il parametro di decelerazione è in pratica una misura della velocità con cui il valore di H è diminuito al passare del tempo. Si può dimostrare che esso risulta legato al parametro di densità dalla relazione

Infatti da si ottiene , che sostituita in fornisce