Il concetto di distanza nell'universo

Il concetto di distanza nell'universo

La relazione di Hubble  fornisce dei valori di distanza del cui significato è necessario discutere.

Red-shift Doppler e Red-shift cosmologico

In primo luogo tale relazione è stata ottenuta interpretando il red-shift come dovuto ad effetto Doppler ed utilizzando per la determinazione di z un approccio classico

Come è noto, qualora la velocità di recessione sia molto elevata (velocità relativistiche con z > 0,01), è necessario utilizzare la relazione relativistica

con la quale la relazione di Hubble diventa

Ma attualmente i red-shift delle galassie sono più propriamente interpretati come dovuti all'espansione dell'universo. Così se l'universo raddoppia le sue dimensioni, non solo tutte le distanze tra corpi celesti, ma anche tutte le lunghezze d'onda della radiazione elettromagnetica vengono raddoppiate. Si parla in questo caso di red-shift cosmologico.

Se ad esempio R_e è il raggio dell'universo al momento in cui viene emessa una radiazione di lunghezza d'onda _e, la lunghezza d'onda _o percepita ora (raggio attuale R_o) soddisfa la seguente relazione

 

Si può allora dimostrare che, in un universo euclideo in cui la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è zero. il rapporto tra la velocità attuale di recessione dell'oggetto osservato e la velocità della luce è legato a z dalla

mediante la quale la relazione di Hubble diventa

Le tre relazioni così trovate forniscono valori di distanza accettabilmente vicini per z piccoli, ma progressivamente divergenti per z grandi.

Confrontiamo ad esempio i valori generati con z = 0,05 e z = 5.

Per z = 0,05  

  

    

Per z = 5  

    

Si noti come nel caso di una interpretazione cosmologica del red-shift vengano accettate velocità di recessione dei corpi celesti superiori alla velocità della luce. Nel caso appena riportato, ad esempio, per un valore di z = 5 si ottiene una velocità pari a

Tale risultato non viene considerato in contraddizione con i principi della relatività speciale, in quanto il moto di recessione delle galassie non avviene attraverso lo spazio, ma con lo spazio. In altre parole la velocità di recessione che noi misuriamo non rappresenta lo spazio percorso da un oggetto nell'unità di tempo, ma una variazione della distanza da percorrere nell'unità di tempo. E' lo spazio interposto tra gli oggetti celesti che si dilata, mentre questi rimangono fermi rispetto ad esso. E nella teoria della relatività non esiste alcuna limitazione teorica alla velocità con cui lo spazio-tempo può dilatarsi.

Distanza attuale e Distanza di emissione

In un universo in espansione in cui la radiazione elettromagnetica viaggia ad un velocità finita e costante (c 300.000 km/s) il termine distanza non ha un significato univoco.

La luce che percepiamo in questo momento, proveniente da un oggetto celeste lontano, è partita quando l'oggetto emittente era più vicino a noi di quanto non sia ora. Possiamo pertanto distinguere una distanza attuale D_o (la distanza che l'oggetto possiede al momento in cui percepiamo la sua luce) ed una distanza di emissione D_e (la distanza che l'oggetto possedeva al momento in cui ha emesso la luce che ora percepiamo).

Il valore di queste distanze dipende ovviamente dal ritmo con cui l'universo si è espanso e si sta espandendo. In un universo euclideo l'equazione che descrive il moto di espansione è del tipo

dove t è il tempo di espansione ed R, spesso detto Raggio dell'universo, è più propriamente un fattore di scala. Il valore della costante di Hubble H è legato al tempo (in effetti H è impropriamente definita una costante)  dalla

Se dunque accettiamo una interpretazione cosmologica del red-shift allora, essendo , possiamo scrivere  e quindi

Che ci permette di calcolare la distanza  D_e di un oggetto celeste  di cui conosciamo il red-shift z, al tempo t_e di emissione.

Ad esempio per un oggetto con z = 5 per il quale avevamo calcolato una distanza attuale pari a , si può determinare una distanza al tempo di emissione (z + 1) = (5 + 1) = 6 volte inferiore

Distanza percorsa dalla luce

La radiazione luminosa deve aver percorso un cammino intermedio D_g tra la distanza di emissione e la distanza attuale, poiché il suo percorso è andato progressivamente allungandosi, a causa dell'espansione dell'universo, dal valore iniziale D_e al valore finale D_o.

La distanza effettivamente percorsa dal raggio luminoso per giungere sino a noi si ottiene moltiplicando la velocità della luce per il tempo impiegato a raggiungerci dal momento di emissione al momento di ricezione (t_o-t_e), dove

        e

Ricaviamoci ora il valore della costante di Hubble al momento di emissione (H_e) in funzione del suo valore attuale (H_o).

essendo  e quindi allora

 

essendo inoltre  allora

              e quindi

Possiamo allora calcolare il tempo di emissione in funzione di z

e la distanza effettivamente percorsa dalla luce sarà pertanto

 

Ad esempio per un oggetto con z = 5 per il quale avevamo calcolato in precedenza una distanza attuale pari a , ed una distanza di emissione pari , si può determinare una distanza percorsa dalla luce pari a

Confronto tra Distanza attuale (D_o) e Distanza di emissione (D_e)

Le attuali teorie cosmologiche dimostrano che la radiazione elettromagnetica si è separata dalla materia (disaccoppiamento) ed ha iniziato a propagarsi in modo autonomo e percepibile quando l'universo aveva delle dimensioni circa 1000 volte inferiori a quelle attuali. Come conseguenza di ciò possiamo scrivere

In altre parole non è possibile registrare radiazione con z > 1.000.

Il valore di z più elevato finora registrato si aggira intorno a 5 ed è facile verificare che all'aumentare del valore di z aumenta progressivamente la distanza che attualmente ci separa dal corpo emittente.

Non possiamo però fare la stessa affermazione per la distanza di emissione, la quale cresce fino a raggiungere un massimo per z = 1,25 per poi decrescere progressivamente.

Il valore si determina ponendo uguale a zero la derivata prima della funzione che lega la distanza di emissione a z

e risolvendo rispetto a z.

Per z = 1,25 la distanza di emissione assume dunque un valore massimo pari a

Se ora calcoliamo la velocità v_e posseduta dall'oggetto emittente al momento dell'emissione t_e

possiamo osservare come

per z = 1,25     v_e = c per z > 1,25 v_e > c per z < 1,25 v_e < c

La distanza di emissione presenta dunque un valore massimo (per z = 1,25), quando l'oggetto emittente si stava muovendo alla velocità della luce. Gli oggetti con velocità maggiore o minore della velocità della luce possedevano al tempo di emissione distanze progressivamente inferiori a . La massima distanza teoricamente raggiungibile (orizzonte) assume valori diversi in relazione al criterio di calcolo. È di 3000 h^-1 Mpc se interpretiamo il red-shift come dovuto ad effetto Doppler, mentre in caso di red-shift cosmologico è di 6000 h^-1 Mpc, ma la corrispondente distanza percorsa dalla luce (orizzonte cosmologico osservabile) è di 2000 h^-1 Mpc.