Cosmologia relativistica

Cosmologia Relativistica

I primi tentativi di descrivere l'intero universo tramite gli strumenti della relatività si devono allo stesso Einstein, il quale nel 1917 aveva applicato all'intero universo le equazioni relativistiche ottenendo come risultato un universo non in equilibrio, ma in contrazione. Ma fino agli anni '20 del nostro secolo si riteneva che l'universo fosse statico. Einstein introdusse pertanto un termine correttivo, la cosiddetta costante cosmologica, con effetti repulsivi, per 'evitare' che l'universo collassasse sotto la spinta della attrazione gravitazionale prodotta dalla materia in esso contenuta. In seguito Einstein parlerà della costante cosmologica come uno dei più grossi abbagli della sua carriera.

In quello stesso anno Willem De Sitter trovò un'altra soluzione delle equazioni di Einstein (sempre utilizzando la costante cosmologica) che descrivevano un universo vuoto di materia caratterizzato da un moto di espansione.

Se Einstein avesse applicato le sue equazioni all'universo senza introdurre la costante cosmologica avrebbe potuto anticipare la scoperta di un universo dinamico, in evoluzione.

Il risultato si deve invece al sovietico Aleksandr Fridman il quale nel 1922 ottenne una soluzione dinamica delle equazioni originarie di Einstein (senza la costante cosmologica). Facendo l'ipotesi che la materia potesse considerarsi diffusa in modo omogeneo all'interno dell'universo egli trovò che esso doveva essere caratterizzato da un'espansione uniforme.

Fridman giunse ad una descrizione che oggi riteniamo corretta della dinamica dell'universo, ma le sue equazioni non ebbero alcuna eco in occidente, fino a quando non vennero riscoperte in modo indipendente nel 1927 da George Lemaitre, il quale suggerì che l'espansione avrebbe prodotto uno spostamento verso il rosso delle righe spettrali osservate, fatto poi confermato sperimentalmente dall'astronomo Hubble nel 1929.

Lemaitre è forse maggiormente noto per esser stato il primo ad ipotizzare, in modo del tutto qualitativo, la nascita dell'universo da un 'atomo primigenio' superdenso, dalla cui esplosione avrebbero preso origine tutti gli elementi chimici e la radiazione cosmica. Per questo motivo è spesso ricordato come il 'padre' del Big Bang.

Nel 1935 i modelli di Fridman trovarono una definitiva formalizzazione grazie ai lavori di Robertson e Walker. Oggi i modelli cosmologici basati sulle soluzioni di Fridman, Robertson e Walker sono spesso indicati come cosmologie FRW.

Essi corrispondono, anche dal punto di vista formale, ai tre modelli newtoniani ottenuti in precedenza.

Il modello con k = 0 è noto anche come modello di Einstein - De Sitter.

Si tratta ora di chiarire come in relatività generale certe grandezze debbano essere interpretate fisicamente in modo diverso rispetto a quanto abbiamo visto nella descrizione newtoniana.

La curvatura dello spazio-tempo

Secondo Einstein è possibile sostituire il modello newtoniano in cui la gravità si manifesta come una forza attrattiva, con un modello in cui la gravità viene concepita come una manifestazione della geometria dello spazio. In altre parole la presenza di materia è in grado di curvare lo spazio-tempo (cronòtopo). I corpi quindi, in assenza di forze gravitazionali, obbedendo al principio di inerzia si muovono nello spazio di moto rettilineo uniforme. Ma essendo lo spazio in cui si muovono curvo, essi seguono delle traiettorie non rette, pur continuando tali traiettorie ad essere i percorsi più brevi tra due punti.

Oltre a curvature locali, presenti ad esempio intorno ad una stella o ad un pianeta, è possibile concepire una curvatura complessiva che caratterizza l'intero universo e la cui entità dipende dalla densità effettiva di materia in esso presente.

Nelle equazioni relativistiche k rappresenta una misura della curvatura dello spazio-tempo ed è detto indice di curvatura.

Per Einstein dunque la densità di materia presente nell'universo condiziona la geometria dello spazio ed in uno spazio curvo la geometria euclidea non può più essere utilizzata.

A ciascuno dei tre modelli di espansione è quindi possibile associare una caratteristica curvatura spazio temporale ed in definitiva una particolare geometria.

Fino agli inizi dell'Ottocento l'unica geometria conosciuta era quella formalizzata da Euclide a partire da cinque postulati, tra cui il 5°, noto anche come postulato 'delle parallele'.

Nella prima metà dell'Ottocento si fece strada l'idea che altre geometrie fossero possibili, soprattutto ad opera di Gauss, Riemann, Bolyai e Lobacevskij.

Già nel '700 il padre gesuita Gerolamo Saccheri, tentando di dimostrare il quinto postulato aveva costruito una geometria fondata sui primi quattro, che violava volutamente il quinto. Egli sperava così di ottenere una costruzione priva di coerenza interna in modo da ottenere una dimostrazione per assurdo del quinto postulato. Ottenne invece una geometria lontana dal senso comune, ma perfettamente coerente.

Fu solo nella prima metà dell'Ottocento che si arrivò ad accettare l'idea che geometrie non-euclidee, così sono dette le geometrie che violano il quinto postulato, potevano essere formalizzate fondandosi puramente sul principio di non contraddizione.

Esistono due tipi fondamentali di geometrie non-euclidee.

Le prime che affermano che per un punto esterno ad una retta data non passa alcuna parallela (geometria ellittica o sferica - Riemann).

Le seconde che affermano che per un punto esterno ad una retta data passano infinite parallele (geometria iperbolica - Lobacevskij).  

A Gauss e Riemann si deve invece un'altra importante generalizzazione del concetto di geometria. La geometria a tre dimensioni può essere infatti considerata come un caso particolare di geometrie costruite con un numero qualsivoglia di dimensioni. Nasce dunque l'idea di una geometria in grado di descrivere spazi curvi a più dimensioni.

Tutto ciò rimase pura speculazione teorica fino a quando la teoria della relatività generale non dimostrò che la materia era in grado di curvare lo spazio tempo quadridimensionale.

Poiché però è per noi impossibile la rappresentazione di uno spazio curvo a tre dimensioni (e tantomeno a quattro, se consideriamo anche la dimensione temporale) è conveniente pensare allo spazio come ad una superficie a due dimensioni. Tutte le considerazioni che faremo potranno poi essere utilizzate per descrivere la geometria dell'intero universo.

Quando si lavora su superfici curve le distanze non possono più essere misurate tramite rette, ma tramite linee curve. In una superficie piana la retta rappresenta la distanza più breve tra due punti. In una superficie curva la distanza più breve tra due punti è una linea curva detta geodetica. Le rette sono le geodetiche delle superfici piane.

1) superfici sferiche e universo ellittico     k > 0

Le superfici sferiche sono superfici a curvatura costante positiva. Le geodetiche di una superficie sferica sono archi di cerchio massimo (un cerchio massimo si ottiene intersecando la superficie con piani passanti per il centro). Non esistono due geodetiche parallele poiché tutte si intersecano in due punti opposti. Tale superficie deve essere dunque descritta tramite una geometria non euclidea (ellittica). Costruendo un triangolo con tre archi di geodetica si può facilmente verificare che la somma degli angoli interni è sempre maggiore di 180°. Muovendosi lungo una geodetica si può ritornare al punto di partenza.

L'universo sarebbe caratterizzato da una geometria di questo tipo, naturalmente con tre dimensioni spaziali, se la sua densità effettiva fosse maggiore della sua densità critica.

Dunque un universo che contiene una quantità tale di materia da produrre una curvatura costante positiva. Un universo caratterizzato da una geometria ellittica è anche un universo chiuso, destinato a fermare la sua espansione e a contrarsi.

In un tale universo un raggio di luce, costretto a seguire le traiettorie più brevi e quindi una geodetica, si ritroverebbe al punto di partenza dopo aver attraversato tutto lo spazio.

2) superfici iperboliche e universo iperbolico       k < 0

Le superfici iperboliche sono superfici a curvatura costante negativa. Possiamo immaginarle come una superficie 'a sella'. In queste superfici esistono infinite geodetiche che passano per un punto esterno ad una geodetica data senza mai intersecarsi con questa. Tale superficie deve essere quindi descritta tramite una geometria non-euclidea (iperbolica). Costruendo un triangolo con tre archi di geodetica si può verificare come la somma degli angoli interni è minore di 180°.

L'universo sarebbe caratterizzato da una geometria di questo tipo, naturalmente con tre dimensioni spaziali, se la sua densità effettiva fosse minore della sua densità critica.

Dunque un universo che contiene una quantità talmente bassa di materia da produrre una curvatura costante negativa. Un universo caratterizzato da una geometria iperbolica è anche un universo aperto, destinato ad espandersi per sempre.

3) superfici piane e universo piatto o euclideo      k = 0

Le superfici piane sono superfici a curvatura nulla. In esse vale la geometria euclidea. L'universo sarebbe caratterizzato da una geometria di questo tipo, naturalmente con tre dimensioni spaziali, se la sua densità effettiva fosse uguale alla sua densità critica.

Un universo caratterizzato da una geometria euclidea è anch'esso un universo aperto, destinato ad espandersi per sempre.

Se noi fossimo in grado di tracciare un enorme triangolo con dei raggi laser nello spazio e poi ne misurassimo la somma degli angoli interni potremmo capire in che tipo di spazio viviamo (piano, sferico o iperbolico) e di conseguenza quale sarà il destino dell'universo (aperto o chiuso).

Il fattore di scala R e la metrica dell'universo

Nella cosmologia relativistica non è possibile parlare di raggio dell'universo. La grandezza R che compare nelle equazioni va interpretata come un fattore di scala.

Un esempio servirà a chiarire.

Immaginiamo un mappamondo sul quale sia rappresentata la superficie terrestre. Ogni luogo è individuato tramite le sue coordinate geografiche (latitudine e longitudine). Supponiamo di essere interessati unicamente alla latitudine, cioè alla distanza angolare di un luogo dall'equatore.

Ad esempio Roma si trova a 42° a nord dell'equatore. Noi sappiamo che 1° di latitudine corrisponde a circa 110 km. Così per calcolare la distanza in km di una città dall'equatore dobbiamo moltiplicare la sua coordinata (latitudine) per un fattore che in questo caso è 110 km/grado.

Roma perciò disterà 42° x 110 km/grado = 4620 km dall'equatore.

Immaginiamo ora che la terra improvvisamente si gonfi uniformemente, raddoppiando il suo diametro. Tutte le distanze tra le diverse località raddoppieranno. Ma le coordinate dei diversi luoghi rimarranno le medesime e noi potremmo continuare ad utilizzare il nostro mappamondo, con l'avvertenza che ora 1° di latitudine non vale più 110 km, ma 220 km.

Roma disterà ora 42° x 220 km/grado = 9240 km dall'equatore.

In altre parole ogni volta che la terra cambia dimensioni, noi possiamo mantenere inalterate le coordinate dei diversi luoghi ed aggiornare il fattore di conversione che chiameremo fattore di scala. Se la terra raddoppia il suo diametro, raddoppiamo anche il fattore di scala, se lo triplica lo triplichiamo e così via.

Per l'universo il ragionamento è analogo. Poiché l'espansione si suppone avvenga radialmente per tutti i punti, sarà sufficiente un'unica coordinata spaziale x che individua la posizione di un punto rispetto all'origine, arbitrariamente fissata.

Tale coordinata rimane costante durante l'espansione. E' una caratteristica del punto (come la latitudine di Roma nell'esempio precedente) e lo accompagna durante il suo moto di recessione radiale. Per questo motivo tale coordinata è detta coordinata comovente o radiale. La relatività fornisce le relazioni che legano il fattore di scala R al tempo t nei diversi modelli cosmologici. Così per ottenere la distanza effettiva D di un punto è necessario moltiplicare la coordinata per il fattore di scala.

Le distanze che separano due punti presentano in realtà alcune caratteristiche peculiari legate al fatto che la relatività generale non distingue tra coordinate spaziali e coordinata temporale. Ciascun punto dell'universo è pertanto caratterizzato da 4 coordinate (3 spaziali ed 1 temporale). I punti così caratterizzati sono detti eventi e la relatività generale permette di misurare la distanza spazio-temporale tra due eventi.

Il formalismo matematico che permette di calcolare le distanze tra due punti in uno spazio qualsiasi (ad n dimensioni) prende il nome di metrica dello spazio.

La metrica è una generalizzazione del teorema di Pitagora attraverso il quale è possibile calcolare la distanza tra due punti di cui sono note le coordinate.

La lunghezza del segmento L in uno spazio a due dimensioni si ottiene, come è noto, tramite la relazione pitagorica . In uno spazio a tre dimensioni è facile verificare che la relazione diventa

Se però la geometria non è euclidea la distanza tra due punti non è, come abbiamo visto un segmento di retta, ma una porzione di geodetica. In tal caso è possibile applicare comunque il teorema di Pitagora, immaginando di dividere il tratto di geodetica in porzioni infinitesime ds, a ciascuna delle quali si applica il teorema di Pitagora . La lunghezza del tratto di geodetica si otterrà come somma di tutti i ds e quindi come

In definitiva nello spazio-tempo (cronòtopo) a 4 dimensioni, la distanza tra due eventi è calcolabile, in modo analogo a quanto abbiamo finora visto, tramite . La quarta coordinata è la coordinata temporale che vale . Si ottiene in questo modo la relazione matematica che fornisce la distanza tra due eventi nello spazio-tempo piano (metrica di Minkowsky), nell'ambito della relatività speciale.

La relatività generale considera però anche spazi curvati dalla presenza di materia. La metrica necessaria per calcolare le distanze spazio-temporali tra eventi in spazi curvi fu ottenuta nel 1935 da Robertson e Walker, indipendentemente l'uno dall'altro. Essa contiene, come è facilmente prevedibile, sia l'indice di curvatura k, che il fattore di scala R.

Vediamo ora come la 23) può essere utilizzata per costruire alcune relazioni che leghino il parametro di red-shift z alla velocità di recessione v ed alla distanza D che separa due punti nello spazio-tempo euclideo.

Se accettiamo una interpretazione cosmologica del red-shift, allora

e quindi

essendo poi per la 17) e quindi allora

essendo inoltre per la 20) allora

essendo infine per la 14) e quindi allora

Nel caso di un universo euclideo k = 0. Inoltre, poichè l'espansione avviene radialmente, sarà sufficiente considerare una sola coordinata radiale (x). La 23) diventa allora

29)

Poichè in relatività generale l'equazione di propagazione di un segnale luminoso si ottiene ponendo ds = 0 (geodetica di lunghezza nulla), potremo scrivere

estraiamo la radice quadrata e riordiniamo

Ricordando che R(t) è per la 17) con A = cost, otteniamo

integriamo

dalla 20) , sostituendo

dalla 26) otteniamo che sostituito nella 31) fornisce

ricordando ora che per la 22) D = x R, dopo aver portato Ro al primo membro nella 32) otteremo

Che ci permette di calcolare la distanza attuale D_o di un oggetto celeste di cui conosciamo il red-shift z.

Essendo dalla 25) deve anche essere . Sostituendo nella 33) otteniamo

Che ci permette di calcolare la distanza D_e di un oggetto celeste di cui conosciamo il red-shift z, al tempo t_e di emissione.

Essendo poi v = HD otteniamo

da cui

che ci permette di calcolare a che frazione della velocità della luce (v_o/c) si sta attualmente allontanando l'oggetto celeste di cui conosciamo il red-shift z.

E inoltre, poichè dalla 27) , tenendo presente la 34) e sostituendo opportunamente

da cui

che ci permette di calcolare a che frazione della velocità della luce (v_e/c) si stava allontanando l'oggetto celeste di cui conosciamo il red-shift z al tempo di emissione t_e

Possiamo inoltre calcolare il tempo di emissione in funzione di z. Infatti, sempre tenendo presente la 27)

37)

Possiamo infine calcolare la distanza effettivamente percorsa dal raggio luminoso per giungere sino a noi moltiplicando la velocità della luce per il tempo impiegato a raggiungerci dal momento di emissione al momento di ricezione (t_o-t_e

Utilizzando queste relazioni sul quasar più distante finora scoperto (z 4) troviamo ad esempio che per la 25) deve essere Ro = 5 Re e quindi stiamo osservando un oggetto che ha emesso la radiazione che ora ci colpisce quando l'universo aveva dimensioni pari ad 1/5 delle attuali.

Tale radiazione è stata emessa al tempo t_e s 1 miliardo di anni dopo il Big Bang.

La distanza che ci separava allora dal quasar era D_e = 3,9 miliardi di a.l. Ovviamente ora tale distanza è 5 volte maggiore ( D_o = 19,7 miliardi di a.l.). La distanza effettivamente percorsa dalla luce è Dg = 12 miliardi di anni luce.

Al momento di emissione il quasar si stava allontanando da noi ad una velocità v_e pari a 2,47 volte la velocità della luce, mentre ora si allontana ad una velocità v_o pari a 1,1 volte la velocità della luce.

La costante di Hubble aveva allora un valore H_e pari a 859.375 km/(s Mpc).

La densità di materia-energia e la pressione

L'ultimo elemento fondamentale che distingue la trattazione newtoniana da quella relativistica consiste nel fatto che nei modelli relativistici anche la radiazione e la pressione sono fonte di gravitazione. La relazione einsteniana di equivalenza massa-energia (E = mc ) ci permette infatti di calcolare una massa-equivalente di energia

Così dividendo sia la densità di energia che la pressione per c , si ottengono i contributi di ciascuna di esse alla densità di materia (si osservi che densità di energia e pressione sono grandezze omogenee erg/cm = dyn/cm r va dunque intesa, nelle equazioni relativistiche, come una densità totale, ottenuta come somma della densità di materia, della densità di massa equivalente all'energia di radiazione e della densità equivalente di pressione .

In genere il contributo della pressione alla densità totale è trascurabile e in tutti i modelli si pone p = 0.

Più interessanti sono invece risultati alcuni modelli con p < 0 (inflation) di cui parleremo in seguito.

Più importante per la dinamica dei primi istanti di espansione in tutti e tre i modelli risulta invece la distinzione tra densità di materia e densità di massa equivalente alla radiazione. Infatti la densità di materia e la densità di massa equivalente all'energia non diminuiscono allo stesso modo durante l'espansione.

Già sappiamo che la densità di materia è, per la 7), inversamente proporzionale ad R

La densità di massa-equivalente all'energia decresce invece più rapidamente all'aumentare di R durante l'espansione. Infatti i fotoni subiscono una doppia diluizione con l'espansione.

In primo luogo il loro numero diminuisce, come quello di ogni altra particella, in modo proporzionale all'aumentare del volume. Se il volume raddoppia il numero di fotoni per unità di volume si dimezza e così via. Da questo punto di vista il numero di fotoni per unità di volume è inversamente proporzionale al cubo di R, come avviene per la densità di particelle materiali.

In secondo luogo l'energia di ciascun fotone risulta diminuire in modo proporzionale all'aumento di R. Infatti se immaginiamo che l'universo aumenti le sue dimensioni anche le onde elettromagnetiche in esso contenute subiranno uno stiramento di egual proporzione. Se R raddoppia anche la lunghezza d'onda di tutti i fotoni raddoppia. Essendo l'energia di ciascun fotone inversamente proporzionale alla sua lunghezza d'onda ( se ne deduce che l'energia di ciascun fotone risulta essere inversamente proporzionale ad R. Se sommiamo i due effetti è facile verificare che la densità di energia deve essere inversamente proporzionale alla quarta potenza di R

La densità dell'energia di radiazione può essere calcolata utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann, che afferma che la densità di energia emessa su tutte le frequenza da un corpo alla temperatura T è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta, secondo la relazione

Essendo la temperatura attuale dell'universo T_o = 2,726°K, la relazione fornisce una densità di energia di radiazione di circa 4,2 10 erg/cm . Convertiamo tale valore in densità di massa-equivalente all'energia

Se confrontiamo tale densità con la densità critica di materia r_c (nell'ipotesi che l'universo sia euclideo) che è pari a 5,67 10 g/cm è facile verificare che attualmente l'effetto gravitazionale è prodotto essenzialmente dalla materia e non dalla radiazione, la cui densità è circa 10.000 volte inferiore.

Ma se risaliamo nel tempo verso l'istante zero (inizio dell'espansione) troviamo che la densità di radiazione aumenta più rapidamente della densità di materia e vi sarà perciò un tempo (molto vicino all'inizio dell'espansione) in cui la densità di radiazione sarà stata maggiore della densità di materia.

Tutto ciò modifica le condizioni dinamiche dell'espansione iniziale in tutti e tre i modelli.

Poiché nelle fasi iniziali R è molto piccolo, possiamo assumere che in tutti e 3 i modelli e che dunque l'equazione dinamica sia per tutti i modelli derivabile dalla 11) esprimendo la massa in funzione della densità totale (materia + radiazione) e ponendo k = 0

La legge oraria ottenibile dalla 42) dipende da come varia la densità totale in funzione di R.

Da quanto abbiamo discusso in precedenza possiamo affermare che nei primissimi istanti di espansione la densità di materia potrà essere trascurata rispetto alla densità di radiazione e potremo scrivere

così, ricordando che la densità di radiazione è inversamente proporzionale alla quarta potenza di R, nei primi istanti sarà e la 42) diventerà

ricordando che la 43) può essere scritta come , che, integrata porge

Successivamente, durante l'espansione, la densità di radiazione diventa rapidamente trascurabile rispetto alla densità di materia.

così, ricordando che la densità di materia è inversamente proporzionale alla terza potenza di R, negli istanti immediatamente successivi sarà e la 42) diventerà

che integrata fornirà la legge oraria , già ottenuta per le fasi iniziali di tutti e tre i modelli cosmologici. Nei modelli relativistici, tale distinzione tra densità di materia e densità di energia ci costringere a suddividere (in tutti i modelli) dal punto di vista dinamico i momenti iniziali dell'espansione in due fasi che chiameremo era della radiazione ed era della materia.

Durante l'era della radiazione l'universo si espande in modo più lento () di quanto non faccia nella successiva era della materia (