Georg Cantor

Georg Cantor

Un infinito può essere più grande di un altro?
Una parte di infinito è finita o infinita?

A metà dell'800, con la scoperta delle geometrie non-euclidee, si fece strada la possibilità di costruire dei sistemi geometrici che davano la stessa garanzia di coerenza pur partendo da postulati che parevano contraddire la comune intuizione. L'evento era rivoluzionario se si tiene conto che fino ad allora, la secolare tradizione voleva che la geometria, così come del resto l'intero corpo della matematica, fosse fondata su assiomi ovvero su asserzioni evidenti, non confutabili. Su questi assiomi poggiano e si sviluppano coerentemente, come una sorta di piramide, tutti i postulati che ne derivano. Ebbe così inizio una revisione critica del sapere matematico con l'intento di dare il maggior rigore possibile alla costruzione di questa disciplina.
Questa esigenza non era fine a se stessa, cioè al puro campo matematico, poichè la validità dei suoi procedimenti è strettamente collegata con tutte le scienze che hanno bisogno nella loro investigazione scientifica come strumento fondamentale proprio della matematizzazione: l'indagine sui fondamenti matematici equivaleva a far sì che l'intera speculazione scientifica poggiasse su salde basi. Il primo ad affermare la necessità di una indagine sui fondamenti della matematica fu, nel 1886, Katl Weier-strass. Egli riconobbe che potevano essere chiariti solo partendo da una teoria dei numeri reali. Questa teoria sarà ripresa più tardi proprio da un allievo che stravolgerà e darà nuove fondamenta alla scienza matematica: Georg Cantor. Figlio di un commerciante di origine danese, Cantor nasce nel 1845 a Pietroburgo, dove resterà fino a quando la famiglia si trasferirà in Germania. A Darmstad inizia gli studi di ingegneria, ma la sua spiccata inclinazione per la matematica finirà col prevalere e studierà prima a Zurigo e poi a Berlino matematica, fisica e filosofia. Si laurea brillantemente nel 1867 e nel 1869 consegue la docenza presso l'università di Halle, dove la presenza di altri matematici lo stimola ad occuparsi di analisi classica, con studi specifici sulla teoria delle serie trigonometriche. Raggiunge ben presto risultati notevoli, in cui accenna già, anche se solo vagamente, alla teoria degli insiemi che lo renderà celebre.
Nei suoi primi lavori egli considerò insiemi di numeri reali e, per la prima volta nella storia del pensiero, egli dimostrò diversi gradi di infinità. Da qui era logico supporre che le infinità dei punti contenuti con un numero crescente di dimensioni dovessero essere di volta in volta maggiori. Invece Cantor arrivò alla conclusione esattamente opposta: tutti i continui contengono la stessa infinità di punti. Fin dalle sue origini greche la matematica si era imbattuta in paradossi che derivavano dall'accettazione dell'infinito attuale e si era cercato, in tutta la tradizione successiva, di aggirare sempre questo ostacolo. La novità e la paradossalità dei risultati che Cantor aveva ottenuto finirono col creargli non poche difficoltà; il suo potentissimo ex maestro Kronecker, non vedeva di buon occhio il suo vecchio discepolo tanto che ostacolò la richiesta di Cantor di essere chiamato all'università di Berlino. Weierstrass invece apprezzò subito il valore delle ricerche cantoriane ed utilizzò alcuni concetti in suoi lavori di analisi.

Cantor era consapevole della portata della sua teoria e tra il 1879 e il 1884 pubblicherà in sei parti la trattazione sulla teoria degli insiemi. Trattato che costituisce uno degli eventi più straordinari nella storia non solo della matematica, ma più in generale del pensiero, poiché vi si trovano discusse, oltre alle basi di tutta la teoria degli insiemi, anche i più importanti problemi critici, logici, filosofici connessi con le delicate questioni che la teoria insiemistica chiama in causa.
La teoria degli insiemi fu presentata da Cantor nel 1883 in un lavoro intitolato Fondamenti di una teoria universale degli insiemi, in cui il matematico prendeva in esame il problema dell'infinito autentico o attuale. Tale infinito viene concepito come una grandezza sui generis e quindi definibile chiaramente. Ovvero è un infinito i cui elementi hanno una corrispondenza biunivoca con quelli di una sua parte o sottoinsieme; per illustrare questo concetto si ricorse all'esempio della carta geografica, idealmente perfetta, di un paese, costituita dal paese stesso, la quale conterrebbe la propria rappresentazione e una serie di carte dentro altre carte i cui punti corrispondono esattamente.

Alla teoria degli insiemi fu ricondotta la fondazione dell'analisi e quella dell'aritmetica, ma proprio quando tale lavoro era appena terminato Russell e Burali-Forti scoprirono che nella teoria erano presenti delle antinomie che rimettevano nuovamente tutto in gioco.
Oggi sappiamo che anche Cantor aveva già rilevato queste antinomie nella sua teoria e che ciò provocò un'aggravamento delle sue già instabili condizioni psichiche.
Solo dopo molti anni dalla morte di Cantor si dimostrò l'impossibilità di risolvere tale problema entro la teoria cantoriana degli insiemi, ma per lui era invece il mancato compimento della sua teoria.
In questi anni si fece promotore della fondazione dell'Unione matematica tedesca pensata come mezzo per difendere la libertà e l'indipendenza scientifica del singolo ricercatore nei confronti della cultura ufficiale e del suo immenso potere e fu tra i fautori di iniziative per dare vita a congressi internazionali in cui i matematici di ogni angolo del mondo potessero confrontarsi.
Dal 1897 Cantor cessò ogni pubblicazione, pur continuando la sua attività di insegnante e l'interessamento per i problemi della sua teoria.
Solo nel 1931 Kurt Godel dimostrerà che se un sistema assiomatico aritmetico è coerente, non è possibile dimostrarne la coerenza con mezzi logici in esso formalizzabili.
Iniziarono ad accrescersi i riconoscimenti per la creazione di Cantor da molte accademie e associazioni scientifiche che lo onorarono e università che gli conferirono dottorati ad honorem.
Ma le condizioni di salute di Cantor già nei primi anni del Novecento lo indussero ad abbandonare l'insegnamento e nel 1905 si dimise da ogni attività universitaria. Morirà nel 1913 in una clinica psichiatrica.
Il dibattito sul ruolo dell'infinito nella matematica non può dirsi concluso ma ciò che possiamo trarne, dal punto di vista epistemologico, è che l'ambito della verità è più ampio di quello del sapere deduttivo: per ogni teoria, per quanto ampiamente esplicitata, esistono proposizioni vere che non sono afferrabili per deduzione, nonostante possa avere un grande complesso di assiomi e postulati. Ciò invita ancora una volta a rilevare come l'attività razionale dell'uomo non abbia la sua eccellenza nel potere discorsivo raziocinante, quanto nel saper intuire, vedere la verità.