Superfici del secondo ordine

Per comprendere appieno questo capitolo è necessario avere compreso (o comunque conoscerne il contenuto, ovviamente anche da altre fonti), del capitolo sulle coniche.

Le superfici del secondo ordine hanno questo nome per ragioni di calcolo, infatti nella geometria analitica a tre dimensioni la loro equazione è sempre di secondo grado, sempre con il calcolo si può dimostrare che esse vengono tagliate sempre secondo una conica, che può essere anche degenere.

Consideriamo ora le superfici ottenute mediante la rotazione di una conica intorno a un suo asse di simmetria, in questo modo otterremo la figura cercata dopo solo mezzo giro, in caso contrario otterremmo una superficie più complessa che non studieremo. Siccome l'ellisse possiede due assi di simmetria, possiamo ottenere da essa due differenti superfici di rotazione; secondo che l'ellisse ruota attorno al suo asse maggiore a al suo asse minore, otteniamo un ellissoide di rotazione allungato o uno appiattito. Si usa citare come esempio di quest'ultima superficie la Terra, come esempio approssimativo della prima un uovo.

Il caso intermedio fra i due tipi di ellissoidi si ottiene facendo diminuire sempre di più la differenza di lunghezza tra i due assi dell'ellisse. Allora l'ellisse si trasforma in un cerchio, e otteniamo la sfera. Siccome il cerchio è simmetrico rispetto a ognuno dei suoi diametri, possiamo, per rotazione, ottenere la sfera in infiniti modi. Essa è caratterizzata da questa proprietà: è l'unica superficie che possa essere generata per rotazione in più di un modo.

La parabola ha un solo asse di simmetria e dà perciò una sola superficie di rotazione, il paraboloide di rotazione.

L'iperbole, invece dà origine a due diverse superfici di rotazione. Secondo che la rotazione avvenga intorno alla retta che passa per i due fuochi o intorno all'asse del segmento che li congiunge, si ottiene l'iperboloide di rotazione a due falde o quello a una falda. Ora si verifica il fatto sorprendente che sull'iperboloide a una falda giacciono infinite rette (da qui la geometria iperbolica). Invero, questa superficie può anche essere generata dalla rotazione di una retta intorno a un'altra retta sghemba (cioè non complanare) con la prima, (finora avevamo visto solo superfici di rotazione il cui asse era complanare con la generatrice), la dimostrazione può purtroppo essere fatta solo analiticamente, quindi la tralasciamo. Si può però riconoscere intuitivamente che questa costruzione ci dà la superficie in due maniere; infatti, se consideriamo una retta g' simmetrica con la prima generatrice g, rispetto a un piano passante per l'asse a, la rotazione della nuova retta g' deve generare nuovamente la stessa superficie. Perciò l'iperboloide a una falda contiene due schiere di rette: ogni schiera, per conto suo, copre completamente la superficie, e le due schiere sono ordinate in modo che ogni retta dell'una tagli ogni retta dell'altra (o le sia parallela, si noti che la cosa non è così ovvia come sembra, infatti nella geometria a due dimensioni esistono solo questi due casi, che quindi si escludono a vicenda, e se non c'è una allora c'è l'altro, ma nella geometria a tre dimensioni le rette possono anche essere sghembe, ed è proprio questo caso che non si verifica mai sull'iperboloide a una falda); invece due rette della stessa schiera sono sempre sghembe fra loro.

Le superfici ottenute dalla rotazione delle coniche sono tipi particolari delle curve del secondo ordine, se conduciamo da un punto qualunque tutte le tangenti a una di queste superfici, otteniamo un cono, che è tagliato da ogni piano secondo una conica. Il cono è inoltre tangente alla superficie nei punti di una conica. Le superfici di secondo ordine sono le sole che abbiano una di questa proprietà. Consideriamo ora i vari tipi di esse.

Dal cilindro circolare (il cilindro normale) si ottiene, per generalizzazione, il cilindro ellittico. Esso è descritto da una retta che facciamo scorrere lungo un'ellisse, perpendicolarmente al piano della curva. Nello stesso modo si ottengono dalla parabola e dall'iperbole il cilindro parabolico e quello iperbolico.

Analogamente dal cono circolare si ottiene, per generalizzazione, il cono generale di secondo ordine. Esso è formato dalle rette che congiungono i punti di una conica propria (non degenere) qualunque con un punto non appartenente al piano della curva. Bisogna però notare che in questo caso non si ottengono, come per il cilindro, tipo differenti di superfici a seconda che si parta da un'ellisse, da una parabola o da un'iperbole: abbiamo visto, infatti, che un piano variabile può avere in comune con un cono fisso ognuna delle quattro coniche (vedi coniche), il che non succede con il cilindro fisso.

Possiamo anche ottenere il cono e il cilindro ellittico dalle corrispondenti superfici di rotazione con l'aiuto di un processo che prende il nome di dilatazione. Manteniamo fissi tutti i punti di un piano arbitrari passante per l'asse di rotazione della superficie e immaginiamo di spostare gli altri punti dello spazio nella stessa direzione, avvicinandoli  a quel piano fisso, oppure allontanandoli da esso, in modo tale che le distanze di tutti i punti dal piano si modifichino nella stessa proporzione. Si può dimostrare che una tale trasformazione cambia tutte le circonferenze in ellissi (o le lascia circonferenze). Essa inoltre trasforma le rette in coniche.

Dalla dilatazione di un ellissoide di rotazione (allungato o schiacciato) si ottiene l'ellissoide più generale. Mentre l'ellissoide di rotazione è simmetrico rispetto a ogni piano passante per l'asse, l'ellissoide più generale possiede solo tre piani di simmetria. Questi sono perpendicolari fra loro, e la superficie stacca sulle loro rette comuni tre segmenti di lunghezza differente, detti asse 'maggiore', 'medio' e 'minore' dell'ellissoide. Dall'ellissoide a tre assi si ottiene nuovamente, per dilatazione, l'ellissoide di rotazione schiacciato o allungato, rendendo l'asse maggiore uguale al medio o il medio uguale al minore.

Si osserva spesso che i sassi, in riva al mare, hanno la forma di un ellissoide di rotazione. In seguito all'azione levigatrice delle onde, ogni pietra, qualunque sia la sua forma, finisce col rassomigliare sempre di più a un ellissoide. Lo studio matematico di questo problema conduce a problemi di tipo probabilistico.

L'iperboloide a una o a due falde e il paraboloide ellittico sono le superfici più generali che possano essere ottenute, per dilatazione, dall'iperboloide e dal paraboloide di rotazione. I due iperboloidi possiede tre piani di simmetria, il paraboloide ne possiede due.

Siccome ogni dilatazione trasforma le rette in rette, l'iperboloide generale a una falda contiene, come quello di rotazione, due schiere di rette. Come nel caso dell'iperboloide di rotazione a una falda, esse sono ordinate in modo che ogni retta di una schiera tagli ogni retta dell'altra, mentre due rette della stessa schiera non s'incontrano, ma sono sghembe fra loro. Perciò possiamo costruire l'iperboloide a una falda nel modo seguente: prendiamo in una delle due schiere tre rette arbitrarie, siccome esse sono sghembe a due a due, possiamo far passare per ogni punto P di una di esse una e una sola retta p che incontri le altre due; questa retta p è l'intersezione dei due piani determinati rispettivamente da P e dalla seconda retta e da P e dalla terza retta. La retta p ha tre punti in comune con l'iperboloide , e perciò appartiene completamente ad esso, perché l'iperboloide, come superficie di secondo ordine, non può mai essere tagliato da una retta in più di due punti. Se facciamo percorrere a P tutta la prima retta, la p corrispondente viene a coincidere con tutte le rette della schiera a cui non appartiene la prima retta; se prendiamo poi tre rette arbitrarie di quest'ultima schiera, otteniamo da esse di nuovo la prima schiera, comprese naturalmente le tre rette iniziali. Dalla costruzione risulta che tutte le rette della stessa schiera sono sghembe fra loro; poiché se p e p' avessero un punto Q in comune, le tre rette iniziali starebbero sul piano PP'Q, mentre per ipotesi esse sono sghembe.

In tal modo tre rette sghembe determinano sempre un iperboloide a una falda, eccettuato il caso che siano parallele a uno stesso piano (senza essere tuttavia parallele fra loro). In questo caso esse determinano una nuova superficie di secondo grado, che non può mai ridursi, come caso particolare, a una superficie di rotazione; la nuova superficie viene denominata paraboloide iperbolico e ha approssimativamente la forma di un sella che si estende all'infinito. Il paraboloide iperbolico possiede due piani di simmetria perpendicolari fra loro, che lo intersecano secondo sezioni paraboliche. Come le tre rette iniziali, tutte le rette di ciascuna schiera sono parallele a uno stesso piano. A ognuna delle due schiere corrisponde un piano differente. è intuitivamente chiaro che questa superficie non può mai essere tagliata da un piano secondo un'ellisse, perché ogni sezione piana si estende all'infinito. Perciò non è possibile ottenere il paraboloide iperbolico dalla dilatazione di una superficie di rotazione, in quanto ogni superficie di rotazione ci sono dei cerchi e questi si trasformerebbero, per dilatazione, in ellissi.

Noi abbiamo imparato così ad ottenere delle superfici secondo un nuovo metodo. Fissiamo nello spazio un certo percorso e spostiamo lungo questo una retta in movimento. La superficie generata da questa retta si dice rigata. Fra nove superfici di secondo ordine ci sono dunque sei rigate, cioè i tre cilindri, il cono, l'iperboloide a una falda e il paraboloide iperbolico; lo ultime due si distinguono dalle altre per il fatto che sono le sole rigate, eccettuato il piano, per ogni punto delle quali passa più di una retta.