L'interpretazione fisica della funzione d'onda:

L'interpretazione fisica della funzione d'onda:

Lo stesso Schrödinger immaginava l'elettrone non come un punto materiale bensì come un'entità che si distribuisce su un volume relativamente ampio (su scala atomica). Da questo punto di vista emerge che il significato della y(x,y,z) si riduce a nient'altro che alla densità di carica elettronica nel volume di spazio considerato e all'istante di tempo stabilito. Tale interpretazione non è confermata da nessuna osservazione, poichè in tutti gli esperimenti sino ad ora condotti un elettrone appare sempre come un corpuscolo puntiforme e mai come una nuvola di carica. L'interpretazione della funzione d'onda che oggi riteniamo corretta, fu proposta nel 1926 da Max Born fig.(12-b), il quale utilizzò concetti probabilistici. Secondo quest'ultimo ad ogni particella deve essere associata un'onda descritta dalla funzione y(x,y,z). Born avanzò allora l'ipotesi che l'ampiezza dell'onda nell'equazione di Schrödinger fosse legata alla probabilità di trovare la particella nelle coordinate in cui viene valutata e, inoltre, affermò che la densità di probabilità è determinato da . In matematica, la probabilità di un evento è un numero compreso nell'intervallo , uguale al rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili. Gli eventi altamente improbabili hanno una probabilità prossima a 0, mentre gli eventi altamente probabili hanno una probabilità prossima ad 1.

Nel nostro caso, ovvero di una particella che si muove di moto armonico semplice lungo l'asse x,  viene assegnata la probabilità (ovvero l'area sottesa alla curva normalizzata) che la particella giaccia in un determinato intervallo , espressa dall'equazione:

Inoltre sappiamo che la particella deve necessariamente esistere nell'intervallo . Tutto ciò si esprime probabilisticamente normalizzando la funzione d'onda:

ovvero la probabilità di trovare la particella in un punto qualsiasi dello spazio in un generico istante di tempo deve essere 1 per definizione di probabilità. Questa condizione impone una limitazione alla funzione d'onda. Infatti l'equazione (203) determina il fattore costante che bisogna utilizzare per esprimere come una densità di probabilità. Anche in questo caso la matematica ci viene in aiuto risparmiandoci di svolgere, nel nostro caso specifico, l'integrale:

Infatti, riconosciamo nella funzione integranda la curva di distribuzione normale delle probabilità, o gaussiana. Quest'ultima, una volta standardizzata, ci assicura che il suo integrale calcolato nell'intervallo sia uguale ad 1. Inoltre sappiamo che la funzione di densità per risultare normale deve assumere la forma seguente;

confrontando la (205) con la funzione integranda (204) siamo in grado di scrivere il seguente sistema:

Abbiamo cosi trovato il valore della costante che ci interessava per poter riscrivere l'equazione di Schrödinger e la sua soluzione per un oscillatore armonico classico unidimensionale:

In generale le probabilità calcolate dalla y(x,y,z,t) sono le informazioni più dettagliate che in via di principio è possibile avere sul sistema fisico quantistico in esame. L'interpretazione probabilistica dell'equazione di Schrödinger costituisce un aspetto peculiare della teoria quantistica, in quanto con essa le leggi rigidamente deterministiche della meccanica classica sono sostituite da leggi probabilistiche. L'ampiezza di probabilità y(x,y,z) non è rappresentata da una funzione sola ma da una coppia di funzioni, che sono insieme soluzioni dell'equazione di Schrödinger scritta per la particolare forza a cui la particella è soggetta. Conosciamo già un caso in cui una grandezza è determinata da due altre: il modulo della distanza vettoriale è dato, infatti, dalla somma dei quadrati delle sue componenti, secondo il Teorema di Pitagora. Analogamente, l'ampiezza di probabilità y(x,y,z) è determinata da due funzioni e e si può scrivere:

In generale, se l'equazione di Schrödinger riferita ad un determinato sistema quantistico ammette come soluzioni le funzioni d'onda  e che descrivono due possibili stati del sistema di eguale energia, essa ammette come soluzione anche la funzione d'onda che è combinazione lineare delle funzioni dei due stati precedentemente descritte:

dove a e b sono in generale numeri reali. Il formalismo sopra introdotto è meglio noto come principio di sovrapposizione. Consiste nell'ipotesi che fra questi stati esistano relazioni caratteristiche tali che, ogniqualvolta un determinato sistema si trovi in uno stato definito, esso possa venir considerato come facente parte contemporaneamente di due o più altri. Lo stato iniziale deve essere considerato come risultante di una specie di sovrapposizione di due o più altri nuovi stati, che avviene in maniera inconcepibile dal punto di vista delle idee classiche. Se uno stato  dunque, è costituito dalla sovrapposizione di due altri, esso avrà delle proprietà che risultano in un certo senso intermedie tra quelle dei due stati originari, e che si avvicinano più o meno a quelle di uno di essi a seconda del maggiore o minor peso associato a tale stato nel processo di sovrapposizione mediante i coefficienti a e b. Il nuovo stato risulta così completamente definito dai due stati originari, una volta assegnato il loro peso relativo nel processo di sovrapposizione.