Il principio di corrispondenza

Per la prima volta la dottrina di Bohr riusciva ad unificare lo sterminato campo della spettroscopia, facendo intravedere il carattere delle sue leggi, ma, nonostante ciò, non mancarono critiche. Mentre la teoria elettromagnetica descriveva esattamente la radiazione, fornendo di un'onda monocromatica non solo la frequenza ma anche l'intensità, la teoria di Bohr riusciva a fornire soltanto la prima di queste due grandezze. Ma, oltre a queste insufficienze, c'era nella teoria di Bohr un contrasto stridente: l'azione tra nucleo ed elettrone era concepita e trattata alla "maniera" classica; ma in questo quadro Bohr introduceva bruscamente una cesura quantica. I salti dell'elettrone tra un'orbita e l'altra non sono descrivibili dalla meccanica newtoniana; eppure l'elettrone, in uno stato stazionario, come è espresso nel paragrafo precedente, obbedisce alle leggi della meccanica classica; non irradiando però energia, come vorrebbero le leggi dell'elettromagnetismo di Maxwell. Insomma Bohr parte da concezioni classiche e arriva a conclusioni incompatibili con la fisica classica: si manifesta così un'intima incongruenza. Per far fronte a questa incongruenza Bohr elaborò, nel 1918, il principio di corrispondenza. Quest'ultimo è un principio euristico che lo stesso scienziato enuncia così: "nell'elaborazione della teoria bisogna farsi guidare dal concetto che quando si danno, ai numeri dei quanti di un sistema, valori via via più elevati, l'irraggiamento emesso tende asintoticamente verso quello che il sistema emetterebbe seguendo le regole classiche". In altre parole, le leggi della quantistica debbono tendere alle leggi classiche quando tendessero a sparire le discontinuità quantiche, ossia quando tendesse a zero il valore del quanto d'azione. In questo modo la fisica classica, seppur ritenuta inesatta, viene ad acquistare un valore di guida nella scoperta delle leggi quantistiche.

Il nuovo modello introdotto da Bohr per l'emissione e l'assorbimento della radiazione liberava la teoria dei quanti dalle restrizioni che la legavano agli oscillatori lineari o ad equivalenti sistemi particolari. Sorgeva quindi il problema di dedurre la formula della radiazione di corpo nero sulla base delle nuove ipotesi. Si dedicò alla soluzione Albert Einstein che aveva seguito con interesse i lavori di Bohr e accolto con particolare compiacimento il principio di corrispondenza. Nel 1917 apparve il massimo contributo fornito da Einstein alla meccanica quantistica in un suo saggio nel quale estende all'atomo di Bohr i concetti probabilistici della legge di disintegrazione radioattiva. Come ogni singolo atomo radioattivo si disintegra in un istante imprevedibile con un processo che appare non causale, così la transizione di un elettrone in un atomo è del tutto imprevedibile e va studiata secondo leggi statistiche. Einstein le formulò ammettendo che:

• in presenza di un campo di radiazione, la probabilità di transizione di un elettrone, sia nel senso dell'emissione che dell'assorbimento, è proporzionale nell'unità di tempo all'intensità della radiazione stessa;
• anche in assenza di perturbazioni esterne avviene transizione spontanea degli elettroni da stati di energia più elevata a stati di energia meno elevata, con una probabilità proporzionale, nell'unità di tempo, al numero di atomi inizialmente nello stato eccitato.

Riportiamo qui di seguito la dimostrazione di Einstein, poderosa, geniale e nel contempo anche abbastanza immediata:

Si abbia un sistema con due stati quantici r ed s in un campo di radiazione nera di densità . Il numero di sistemi nello stato s è e quello nello stato r è . Per le leggi statistiche di Boltzmann si avrà:

Un sistema nello stato s ha la probabilità per unità di tempo A di cadere spontaneamente nello stato r, e una probabilità di essere spinto nello stato r dalla radiazione. Similmente un sistema nello stato r ha una probabilità per unità di tempo di essere spinto dalla radiazione nello stato s. L'energia divisa per h fornisce la frequenza della radiazione emessa o assorbita nella transizione, in conformità all'idea dei quanti di luce; essa è la frequenza per cui si deve calcolare il valore di . All'equilibrio si deve avere lo stesso numero di transizioni per unità di tempo nelle due direzioni, quindi:

Combinando la (179) e la (180) si ottiene:

Inoltre per T tendente all'infinito e ne segue che . Si può calcolare il rapporto A/B per un caso particolare, per esempio per un oscillatore armonico trattandolo con l'elettrodinamica classica. Si trova e inserendo questo valore nella (181) si ottiene il valore dato nella legge di Planck per la densità della radiazione nera. Nel medesimo lavoro Einstein fornisce anche una nuova prova del risultato conseguito molti anni prima, che i quanti di luce oltre a possedere un'energia pari a posseggono anche una quantità di motodiretta nella direzione di propagazione della luce. Vale la pena, infine, sottolineare questo primo poderoso avvio alla fisica indeterministica dato da Einstein, rimasto per tutta la vita determinista convinto, e notare che il ricorso dello scienziato alla statistica rimane sempre nell'ambito delle leggi classiche di causalità. Secondo Einstein, infatti, l'istante esatto della transizione di un elettrone in un atomo è determinato da leggi causali, dipendenti dalle proprietà strutturali dell'atomo eccitato; soltanto l'ignoranza e la complessità di queste leggi ci costringono a ricorrere a considerazioni statistiche di valore solo strumentale. Ma il fatto storico rimane: è stato Einstein ad estendere per primo il ragionamento statistico dalla radioattività ad altri campi della fisica.