Dinamica dei fluidi

DINAMICA DEI FLUIDI

Secondo l'equazione di continuità, se un fluido entra da una estremità di un condotto con una portata Q , dall'altra estremità il fluido deve uscire con una portata Q = Q , dove la portata Q è uguale all'area della sezione traversa del condotto per la velocità del fluido, ossia Q=Av; questo perché se il fluido si muove con una velocità uniforme v in tutti i punti del condotto di sezione traversa costante A, in un tempo Dt, il fluido percorre una distanza Dx=vDt, ed il volume del fluido che esce dal condotto è DV= ADx = AvDt, e dato che DV=QDt, ritorniamo a Q=Av. Quindi se la sezione traversa del condotto cambia da A ad A , dato che Q =Q , avremo che A v =A v ; ossia il prodotto dell'area di una sezione traversa del condotto per la velocità del fluido in quella sezione è costante lungo il condotto, quindi se A diminuisce v aumenta.

Se un fluido che scorre in un condotto è incompressibile, non viscoso, laminare, e la sua velocità non cambia in nessun punto del condotto, allora il lavoro eseguito sul fluido quando scorre da un punto ad un altro, è uguale alla variazione della sua energia meccanica. Rimanendo costante la sezione trasversale, allora rimangono costanti anche la velocità v e l'energia cinetica del fluido, mentre l'energia potenziale cambia se il fluido sale aumentando la sua quota y. l'intensità della forza risultante sul fluido in movimento, esercitata dal fluido circostante, è uguale al prodotto dell'area della sezione traversa A per la differenza delle pressioni alle estremità; Se tale fluido percorre una breve distanza Dx, allora il lavoro compiuto su di esso è il prodotto dell'intensità della forza per lo spostamento (Pa-Pb)ADx, dove ADx è il volume del fluido che esce dal tubo, quindi L=(Pa-Pb DV, che è uguale all'aumento DU della sua energia potenziale. Se il fluido che esce dal tubo alla quota yb ha una massa rDV ed una energia potenziale (rDV)gyb, mentre il fluido che entra nel tubo dalla sezione di base alla quota ya ha una energia potenziale (rDV)gya. Quindi DU=grDV(yb-ya). Uguagliando DU ad L e dividendo per DVavremo Pa-Pb rg(yb-ya a velocità costante. Perciò per l'unità di volume del fluido, la pressione sommata all'energia potenziale è la stessa in ogni punto del tubo di flusso se la velocità rimane costante. Ossia se cambia l'area della sezione traversa, anche la velocità v del fluido e l'energia cinetica per unità di volume (rV*2)/2 cambieranno. Il lavoro fatto sul fluido deve essere allora uguagliato dall'aumento delle energie cinetica e potenziale. Il risultato è l'equazione di Bernoulli Pa rgya rva*2)/2 = Pb rgyb rvb , ossia la pressione più l'energia totale meccanica per unità di volume P+rgy+(rv*2)/2 risulta la stessa in ogni sezione del tubo di flusso. Quando il fluido è in quiete v=0 e P+rgy è costante, e la pressione ad una profondità h è uguale alla pressione in superficie più la variazione della densità di energia potenziale rgh corrispondente a questa profondità: Px=Patm rgh

La viscosità nel moto di un fluido è l'analogo dell'attrito nel moto dei solidi, e crea delle forze tangenziali fra gli strati di fluido che scorrono l'uno sull'altro, col risultato di dissipare energia meccanica. La viscosità è anche responsabile della forza di trascinamento a cui è soggetto un piccolo oggetto che si muove lentamente in un fluido. Sperimentalmente si osserva che la forza F è proporzionale all'area A della lastra ed alla velocità relativaDv della lastra superiore ed inversamente

proporzionale alla distanza Dy tra le lastre: F=hA(Dv/Dy), dove la costante di proporzionalità h è la viscosità, che è h=(F/A)/(Dv/Dy), e si misura in poise (P) o in Pa X s. generalmente, quando la temperatura decresce, i liquidi diventano più viscosi, mentre i gas diventano meno viscosi.

Il fluido a contatto con la lastra in movimento ha la stessa velocità della lastra, o strato di fluido appena al di sotto si muove leggermente più piano, ed ogni strato successivo rallenta un po' di più, lo strato prossimo alla lastra fissa è in quiete. Questa struttura a strati o flusso laminare ha le linee di flusso caratteristiche dei fluidi viscosi a basse velocità; quando la velocità del fluido aumenta oltre un certo limite, il flusso diventa turbolento, che dissipa più energia meccanica del flusso laminare. In un fluido che si muove in un tubo con flusso laminare, lo strato a contatto della parete del tubo vi aderisce restando in quiete; gli strati successivi si muovono a velocità crescenti, fino al centro che viaggia alla velocità massima. Sperimentalmente si trova che la velocità media vm è la metà della velocità massima, perciò, dall'equazione di continuità, la portata Q=Avm=(Avmax

quando il fluido si muove lungo il tubo, vi è un cambiamento di pressione, dal momento che deve essere fatto un lavoro per vincere le forze di viscosità. Se varia la sezione traversa o se il tubo non è pi orizzontale, nascono nuove variazioni di pressione in accordo con l'equazione di Bernoulli. La caduta di pressione DP=P -P in un tubo orizzontale a sezione traversa costante è proporzionale alle forze di viscosità e quindi alla velocità media del fluido. Inoltre la caduta di pressione è proporzionale alla lunghezza l del tubo, dato che il lavoro fatto contro le forze di viscosità è proporzionale allo spostamento. Così DP è proporzionale a vml oppure vm è proporzionale a DP/l, ossia la velocità media del fluido vm e la sua portata Q=Avm sono proporzionali al gradiente di pressione DP/l. Ma la velocità media dipende anche dal raggio R del tubo e dalla viscosità h del fluido, dato che è più facile pompare un fluido poco viscoso in un tubo largo che un fluido molto viscoso in un tubo stretto. Quindi vm B(DP/l)R^ah^b dove B è un fattore numerico adimensionale e le potenze a,b devono essere scelte in modo tale che vm abbia le corrette dimensioni. Scegliendo per a,b le dimensioni di 2 e -1, vm=B(DP/l)(R h). Se si sostituisce a B 1/8, la relazione fra la velocità media e la massima, vm=½vmax, viene rispettata. Quindi vm DP R²)/8hl, e Q=(DP pR hl, che è la formula di Poiseuille, che enuncia che elevati valori di viscosità comportano bassi valori di portata.

Per determinare se un flusso è turbolento o laminare, si prende come riferimento una grandezza adimensionale, il numero di Reinolds Nr rvmR)/h. se Nr <2000 il flusso è laminare, se Nr>3000 il flusso è turbolento, se 2000<Nr<3000, il flusso è instabile. Nel flusso turbolento si dissipa energia sotto forma di rumore e di calore.

Il sistema circolatorio offre una resistenza idraulica complessiva che è il rapporto tra la caduta di pressione e la portata pari a Rf=DP/Q, valida anche per un flusso non laminare. Secondo la legge di Poiseuille la resistenza idraulica di un tubo di raggio r e lungo Dl è data da Rf=(8hl)/(pR valida solo per il flusso laminare, dove l'unità di misura, in questo caso per comodità' è il torr s cm . Dato che il sangue scorre in una successione di vasi di diversa grandezza, il sistema circolatorio si può definire come una serie di resistenze idrauliche, dove la portata Q attraverso ciascuna è la stessa, quindi la caduta totale di pressione è DP=DP +DP +.=(Rf +Rf +Rfn)Q dove le N resistenze in serie sono equivalenti ad una singola resistenza equivalente Rs che soddisfa la relazione DP=RsQ, ovvero Rs=Rf +Rf ++Rfn. Se un numero di resistenze sono in parallelo, allora il flusso del fluido si divide, Q1 attraverso Rf1, Q2 attraverso Rf2, ecc. La caduta di pressione attraverso ciascuna resistenza è la stessa, quindi dato che DP=QRf, a ciascuna resistenza si ha Q1=DP/Rf1, Q2=DP/Rf2, ecc, quindi Q=Q1+Q2++Qn=DP[(1/Rf1)+(1/Rf2)++(1/Rfn). Sostituendo questo sistema di resistenze in parallelo con una singola resistenza Rp, si dovrebbe avere Q=DP/Rp. Quindi per N resistenze in parallelo, la resistenza equivalente viene calcolata da (1/Rp)=(1/Rf1)+(1/Rf2)++(1/Rfn).

Ipotizzando che le arterie della stessa grandezza, le vene e i capillari delle stesse dimensioni, siano in parallelo, la resistenza idraulica per ciascun tipo di vaso si calcola con la formula delle resistenze in parallelo. Dato che un vaso ha una resistenza Rf1, la resistenza di N vasi identici in parallelo è Rp=Rf1/N. Per trovare la resistenza equivalente totale dei vasi delle varie dimensioni, si usa poi la formula delle resistenze in serie. Per calcolare poi la resistenza di un singolo ramo si applica la legge di Poiseuille. La maggiore resistenza viene offerta dalle arterie, questo perché sono circondate da fibre muscolari che possono contrarsi riducendo il raggio e aumentando la resistenza del vaso. Il sangue non si comporta come un liquido comune, e non segue il comportamento di un fluido ideale ma neppure quello di un liquido viscoso, la sua viscosità varia infatti con la velocità. alla normale temperatura corporea la viscosità è h=2,084 X 10 Pa s e la densità è r=1,0595 X 10 Kg m

Se lasciamo un campione di sangue immobile, dopo un certo tempo si stratifica in bande di densità e di colore diverso, e sul fondo sedimentano le particelle di densità più elevata; questo perché la gravità bilanciata dalla resistenza viscosa del liquido fa sedimentare più rapidamente le particelle più grandi e a maggiore densità. Il processo di sedimentazione è contrastato dal processo di diffusione che tende ad eguagliare la concentrazione delle molecole e particelle in soluzione in tutto il liquido. Per cui solo particelle più grandi e dense riescono a sedimentare mentre per le altre il processo diffusivo continuamente le riporta in soluzione. Il processo di sedimentazione viene reso più rapido grazie alla centrifuga, posizionando la provetta radialmente rispetto l'asse di rotazione; così le particelle e le molecole contenute nel liquido sono soggette , oltre all'accelerazione di gravità, alla accelerazione centrifuga pari a w²R e diretta verso l'esterno radialmente. Le particelle più piccole tenderanno a diffondere di nuovo indietro, mentre quelle più grandi e dense si depositeranno verso la parete della centrifuga.

Un oggetto che si muove attraverso un fluido è soggetto ad una forza che aumenta rapidamente con la velocità. A velocità molto basse questa forza di trascinamento è dovuta soprattutto alle forze di viscosità che sono proporzionali alla velocità v. A velocità leggermente più alte l'oggetto accelera il fluido che si muove attorno ad esso, e la forza che ne deriva varia approssimativamente con v². Le forze di trascinamento viscoso nascono perché il fluido adiacente un oggetto è in quiete rispetto l'oggetto. Quando l'oggetto si muove nel fluido, questo strato è soggetto ad una forza di attrito esercitata dallo strato vicino che si muove più rapidamente. Tra gli strati adiacenti successivi vicini all'oggetto nascono delle forze di attrito il cui effetto globale è quello di ritardare il moto dell'oggetto nel fluido.