I Filtri di Frequenza

Filtri passivi RC

I filtri di frequenza (o semplicemente Filtri) sono dei dispositivi atti a selezionare i segnali in funzione della loro frequenza.

Chiamiamo  l'attenuazione subita dal segnale nell'attraversare il Filtro, con v_e il segnale applicato all'ingresso (segnale di entrata) e vu il segnale prelevato all'uscita del Filtro.

Si hanno i seguenti quattro tipi di filtri:

1. Filtri passa-basso PB: questi Filtri hanno A₀ ≠ 0 solo per i segnali di ingresso a frequenze inferiori ad un determinato valore di f_t, chiamata frequenza di taglio superiore. Per f > f_t si ha invece A₀ = 0.
2. Filtri passa-alto PA: questi Filtri hanno A₀ ≠ 0 solo per i segnali di ingresso a frequenze superiori ad un determinato valore di f_t, chiamata frequenza di taglio inferiore. Per f < f_t si ha invece A₀ = 0.
3. Filtri passa-banda Pbanda: questi Filtri hanno A₀ ≠ 0 solo per i segnali di ingresso la cui frequenza è interna a due determinati valori f₁ (chiamata frequenza di taglio inferiore) ed f₂ (chiamata frequenza di taglio superiore) con f₁ < f₂. Per f < f₁ e f > f₂ si ha invece A₀ = 0.

4. f

   Filtri elimina-banda Ebanda: questi Filtri hanno A₀ ≠ 0 solo per i segnali di ingresso la cui frequenza è esterna a due determinati valori f₁ (chiamata frequenza di taglio inferiore) ed f₂ (chiamata frequenza di taglio superiore) con f₁ < f₂. Per f₁ < f < f₂ si ha invece A₀ = 0.

	ve								vu

In figura sono riportate le curve di risposta dei Filtri rispettivamente passa-basso, passa-alto, passa-banda e elimina-banda. I fronti ripidi di discesa e salita sono puramente ideali. In pratica le curve si discostano da quelle sopra riportate e la bontà di un filtro è tanto maggiore quanto più esso approssima le curve ideali.

I Filtri si dividono in:

a)     Filtri passivi: se sono composti da soli componenti passivi

b)     Filtri attivi: se sono compresi anche componenti attivi, BJT, FET e Operazionali.

Studieremo innanzitutto i Filtri passivi.

R

Filtro RC passa-basso

Come si può osservare dalla figura la tensione di uscita V_u viene prelevata ai capi di C.

La caratteristica del filtro passa-basso è quella di privilegiare la trasmissione delle frequenze basse, infatti dalla figura si ricava che:

Il modulo di A₀ vale:

e la fase:

Dal modulo si ricava che per frequenze basse e tali che 2 π f R C « 1, il rapporto V_u / V_e rimane sensibilmente costante e uguale a 1 (cioè l'uscita è uguale in ampiezza all'ingresso), ma non appena la frequenza aumenta in modo tale che la quantità 2 π f R C incomincia ad assumere valori non trascurabili rispetto l'unità, il rapporto V_u / V_e incomincia a decrescere. I limiti sono i seguenti: per  f = 0 è V_u = V_e, per f → ∞ è V_u = 0.

V_u/V_e

f_t                                                           f

Curva di risposta dell'ampiezza del Filtro Passa-Basso

f_t f

Curva di risposta delle Fasi del Filtro Passa-Basso

Quindi se un segnale di ingresso ha frequenza variabile il circuito RC di figura fa passare le frequenze basse e taglia quelle alte, cioè si comporta da filtro passa-basso. In altre parole, prelevando l'uscita ai capi di C, si ha una risposta V_u = V_e e φ = 0 per frequenze basse tali che         2 π f R C « 1, mentre per frequenze man mano crescenti, la tensione di uscita si riduce in ampiezza fino a quasi annullarsi, mentre si va generando un ritardo di fase di V_u rispetto V_e, che da 0° va crescendo fino a -90°. Dalle formule si ricavano i grafici sopra riportati che prendono il nome di Curva di risposta del filtro Passa-Basso.

La frequenza più alta, che rappresenta il limite massimo in corrispondenza del quale l'attenuazione della tensione di uscita rispetto alla tensione di ingresso si può ritenere trascurabile, viene chiamata frequenza di taglio superore e si indica con f_t. Essa viene definita come la frequenza in corrispondenza della quale è:

Per ricavare f_t basta imporre nell'equazione del modulo di A₀ sia:

e cioè:

da cui si ricava la frequenza di taglio superiore:

In pratica i dispositivi di filtraggio vanno interposti fra una sorgente, simulabile con un generatore di tensione a frequenza variabile avente in serie la resistenza interna R_i, ed un carico utilizzatore R_c.

Il dimensionamento del filtro si effettua imponendo che:

R >> R_i

R_c >> R + R_i

E' sufficiente in pratica che sia:

R = 10 R_i

R_c = 10 R

Filtro Passa-Basso

Filtro RC passa-alto

Si consideri adesso il circuito RC di figura nel quale la tensione di uscita viene prelevata ai capi di R. Si dimostra che questa configurazione del circuito RC privilegia la trasmissione delle alte frequenze.

Il modulo di A₀ vale:

e la fase:

A₀

f_t                                                           f

Curva di risposta dell'ampiezza del Filtro Passa-Alto

f_t                                                           f

Curva di risposta delle Fasi del Filtro Passa-Alto

I valori limiti della funzione modulo sono:

V_u / V_e = 0 per f → 0

V_u / V_e = 1 per f → ∞

Cioè il filtro taglia le basse frequenze e fa passare solo quelle alte, comportandosi quindi come un filtro Passa-Alto.

Si definisce frequenza di taglio inferiore quella frequenza che rende il modulo , cioè quella frequenza per cui:

da cui:

Come per il Filtro Passa-Basso, anche per il Filtro Passa-Alto in genere si usa come dispositivo intercalato tra una sorgente di segnale v_e e un carico R_c

Filtro Passa-Alto

Il dimensionamento del filtro si effettua imponendo che:

R >> R_i

R_c >> R

E' sufficiente in pratica che sia:

R = 10 R_i

R_c = 10 R

Circuiti risonanti

La risonanza può avvenire nei circuiti contenenti reattanze induttive e capacitive. La sua caratteristica è che ad una determinata frequenza, chiamata frequenza di risonanza, l'impedenza del circuito è puramente resistiva. Di conseguenza lo sfasamento tra la tensione applicata e corrente di ingresso è zero. Si hanno due tipi di risonanza:

1. risonanza serie quando l'impedenza di ingresso (resistiva) è minima alla frequenza di risonanza;
2. risonanza parallelo quando l'impedenza di ingresso (resistiva) è massima alla frequenza di risonanza.

Risonanza serie

Quando la reattanza capacitiva è in serie a quella induttiva si ha un circuito risonante serie come in figura.

L'impedenza del circuito vale:

Il modulo dell'impedenza vale:

Nel circuito circolerà la corrente data dalla:

Se analizziamo il modulo dell'impedenza notiamo che essa diventa mima e completamente resistiva quando:

e vale

cioè a quella frequenza

che viene chiamata frequenza di risonanza. In corrispondenza di questa frequenza nel circuito circola la massima corrente .

Per frequenze inferiori o superiori a f₀ il circuito è reattivo, e precisamente:

• per ω < ω₀ comportamento capacitivo
• per ω > ω₀ comportamento induttivo

Lo sfasamento tra la tensione e la corrente che circola nel circuito è:

Alla risonanza si ha quindi:

C'è un intorno della frequenza f₀ dentro il quale l'impedenza si può ritenere resistiva e quasi costante. Questo intorno è limitato superiormente da una frequenza f₂ chiamata frequenza di taglio superiore, e inferiormente da un frequenza f₁ chiamata frequenza di taglio inferiore. A queste due frequenze corrisponde una attenuazione della I₀ del fattore 0,707 e uno sfasamento di 45 °. L'intervallo B = f₂ - f₁ è chiamata Banda passante.

Si hanno le seguenti relazioni:

Nelle figure successive vengono rappresentate le curve caratteristiche del circuito risonante serie chiamate curve di risonanza.

capacitivo         resistivo induttivo

I

I₀

I₀/√2

B

f₁       f₀ f₂ f

f₁       f₀ f₂ f

Un'altra caratteristica del circuito di risonante è il coefficiente di risonanza ε, il quale caratterizza la selettività del circuito stesso. Sussiste la seguente relazione:

Infatti quanto più piccola è la banda passante B tanto più selettivo è il circuito nei confronti delle frequenze presenti all'ingresso del circuito, e tanto più alto e ε.

Il valore di ε è dato pure dal rapporto fra la reattanza, alla frequenza di risonanza, e la resistenza serie presente nel circuito:

Quanto più è prevalente la reattanza sulla Rs, tanto più alto è ε e quindi tanto più selettivo è il circuito; ε viene chiamato anche coefficiente di sovratensione.In fatti la tensione ai capi di L e C alla risonanza vale:

Cioè alla risonanza le due tensioni V_L e V_C sono sfasate di 90° in anticipo e in ritardo rispetto alla tensione V₀ applicata e la loro ampiezza ha un valore ε volte maggiore della V₀ applicata.

Risonanza parallelo

La configurazione del circuito risonante parallelo è quello della figura successiva. Come si vede è alimentato da un generatore di corrente I.

La tensione V_u di uscita è funzione della frequenza del segnale applicato all'ingresso, secondo la legge:

Si ha la risonanza parallelo e l'impedenza Z

Il modulo dell'impedenza vale:

Assume il suo massimo valore per per quella particolare frequenza, chiamata frequenza di risonanza, per cui:

cioè alla frequenza:

Come si vede dall'equazione dell'impedenza, per frequenze diverse da f₀ le caratteristiche del circuito sono:

• comportamento induttivo per ω < ω₀
• comportamento capacitivo per ω > ω₀

L'equazione che rappresenta la curva delle fasi è:

alla risonanza è φ = 0, alle frequenze di taglio è φ = ± 45°

induttivo resistivo capacitivo

V

V₀

V₀/√2

B

f₁       f₀ f₂ f

f₁       f₀ f₂ f

Le definizioni sono le stesse date per il circuito risonante serie.

Il coefficiente di risonanza vale:

e vale sempre la relazione:

Il coefficiente ε viene chiamato (per i circuiti risonanti parallelo) "coefficiente di sovracorrente". Infatti la corrente che passa in L e C alla risonanza vale:

Cioè ciascuna corrente reattiva è ε volte la corrente del generatore.