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strutture algebriche: gruppi, anelli e campi
gruppo
definizione Sia (A, ~) un insieme con un'operazione ~. La struttura viene definita gruppo se:
Spieghiamo più nel particolare le varie proprietà. L'operazione ~ è
associativa se si verifica che 
, 
. In A esiste l'elemento neutro se esiste all'interno
dell'insieme un elemento x tale che 
. Infine è detto inverso l'elemento a' che verifica 
,
.
Se l'operazione ~ è unicamente associativa, la struttura prende il nome di monoide. Se, invece, rispetto all'operazione valgono tutte le proprietà sopra elencate e, inoltre, anche la proprietà commutativa, la struttura prende il nome di gruppo abeliano o gruppo commutativo.
esempi
Esaminiamo la struttura (
, +) e verifichiamo se è un gruppo.
Si converrà che per qualsiasi numero
naturale è verificata la proprietà associativa, l'elemento neutro dell'insieme
è lo 0 in quanto qualsiasi elemento di sommato a 0
restituisce l'elemento. Tuttavia non esiste all'interno di l'inverso di alcun
elemento (se non dello 0 stesso) e pertanto (, +) non è un gruppo.
Esaminiamo la struttura (
, +) e verifichiamo se è un gruppo.
Come per l'insieme dei numeri naturali,
per sono verificate la
proprietà associativa e l'esistenza dell'elemento neutro rispetto
all'operazione della struttura. Inoltre è dotato anche di
inverso per ogni elemento del suo insieme pertanto (, +) è un gruppo.
Esaminiamo la struttura (, 
) e verifichiamo se è un gruppo.
Per questa struttura valgono tutte le
proprietà sopra citate, però per l'elemento 0 non è verificata l'invertibilità,
pertanto questa struttura non è un gruppo. Tuttavia escludendo l'elemento 0 da si ottiene che la
struttura 
è un gruppo.
anello
definizione - Sia A un insieme sul quale sono
definite due operazioni che denotiamo con i simboli +, e che chiamiamo
rispettivamente somma e prodotto. La struttura (A, +, ) è detta anello
se vengono verificate le seguenti condizioni:
è associativa;Vediamo nel dettaglio le proprietà. L'operazione è associativa se si
verifica che , 
e valgono le proprietà distributive del prodotto rispetto
alla somma se risulta 
e 
.
Inoltre se per la struttura (A, ) vale la proprietà commutativa, allora l'anello è detto commutativo. Se 
è dotato di elemento
neutro (che in questo caso è 1 e chiameremo unità), l'anello è detto unitario.
campo
definizione - Si dice campo un anello commutativo e unitario 
in cui ogni elemento diverso da 0 risulta invertibile. Un
campo, inoltre, è definito ordinato,
se esiste su di esso una relazione d'ordine totale, compatibile con le
operazioni su di esso definite.
esempio
Esaminiamo la struttura (, +, ) e verifichiamo se è un campo ordinato.
In presi due qualsiasi
elementi a, b diciamo che 
dal momento che 
. Abbiamo verificato pertanto che sull'insieme , vale una relazione d'ordine totale su tutto l'insieme.
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