Appunti per Scuola e Università
humanisticheUmanistiche
Appunti e tesine di tutte le materie per gli studenti delle scuole medie riguardanti le materie umanistiche: dall'italiano alla storia riguardanti le materie umanistiche: dall'italiano alla storia 
sceintificheScientifiche
Appunti, analisi, compresione per le scuole medie suddivisi per materie scientifiche, per ognuna troverai appunti, dispense, esercitazioni, tesi e riassunti in download.
tecnicheTecniche
Gli appunti, le tesine e riassunti di tecnica amministrativa, ingegneria tecnico, costruzione. Tutti gli appunti di AppuntiMania.com gratis!
Appunti
scientifiche
Astronomia cosmologiaChimicaEconomiaEducazione fisicaFisica
MatematicaStatistica


AppuntiMania.com » Scientifiche » Appunti di Matematica » Serie infinita

Serie infinita




Visite: 1071Gradito:apreciate 4-stela [ Picolo appunti ]
Leggi anche appunti:

Modello previsionale matematico


Modello Previsionale Matematico Introduzione e

Differenziale di una funzione


Differenziale di una funzione Sia data una funzione y = f(x) continua e derivabile

Geometria iperbolica


GEOMETRIA IPERBOLICA Il primo scienziato a credere nell'esistenza di una
immagine di categoria

Scarica gratis Serie infinita

Serie infinita


Verso la fine del XVII secolo la matematica era già una scienza fatta per specialisti, ed era dunque già a un buon livello di astrazione. Fu infatti il quel periodo che si cominciò a trattare delle così dette serie infinite. Per capire di che cosa si tratta dobbiamo prima considerare una normale somma:


a + b + c + d + e + f = g


ovviamente in questa somma compaiono 6 addendi e un risultato, niente di strano; così come abbiamo immaginato quella somma possiamo immaginare quest'altra:


a + b + c + d + e + f + g + h + i + l + m + n + o = p


con 13 addendi e un risultato, in questa maniera possiamo immaginare una somma con un numero qualsiasi di addendi, ma la domanda principale che si posero i matematici e questa: possiamo immaginare una somma con un numero infinito di addendi?


La risposta, anche se non è proprio immediata, è positiva, infatti se pensiamo alla somma:




essa è evidentemente infinita e noi possiamo scrivere tutti gli addendi che vogliamo dato conosciamo la regola con cui essi si susseguono, in questo caso un addendo è uguale al precedente più uno. Questo particolare tipo di somma, con infiniti addendi, prende il nome di serie infinita, o più semplicemente serie, e ogni addendo della serie si chiama termine della serie.


Quando abbiamo a che fare con delle somme normali ci viene naturale chiedere quale sia il risultato della somma, e allora perché non fare lo stesso anche con le serie infinite? Molti penseranno che non ha senso perché non finiremmo mai di calcolare, e questo è chiaramente giusto, ma possiamo trovare degli espedienti che ci permettono di evitare di fare un numero infinito di calcoli. Per esempio torniamo alla serie:




è intuitivo che la somma di questa serie è grande quanto si vuole, basta considerare sempre più addendi, in questo caso si dice che la somma tende a infinito o che la serie diverge, ma questo è un caso molto semplice e il metodo applicato non è certo applicabile ad altre serie, vediamo ora su questa serie un metodo che è applicabile, con qualche variazione a tutte le serie divergenti. Troviamo una formula che ci permetta di calcolare la serie fino all'ennesimo termine, in questo caso sappiamo che la somma dei primi n numeri interi è uguale a (n*(n + 1))/2 (vedi induzione), in questa formula calcoliamo il limite per n che tende a infinito, e possiamo vedere come la somma tenda a infinito, sia quindi divergente. Questo metodo è applicabile a tutte le serie infinite, anche a quelle non divergenti, ma spesso è molti difficile, se non praticamente impossibile, trovare la formula che ci consenta di calcolare la somma dopo n addendi, in questi casi si procede per altri metodi, che qui non vedremo in dettaglio.


Ho detto serie anche non divergenti, cioè la cui somma non è un numero arbitrariamente grande, sicuramente molti diranno che ciò non ha gran senso, dato che la somma è composta da infiniti addendi allora il risultato sarà certamente infinitamente grande, alcuni potranno dire che questo si verifica perché i numeri sono infiniti, quindi il risultato continuerà ad aumentare, senza fine, vediamo con un semplice esempio di confutare questa ipotesi. Provate a pensare a questa somma:




il risultato della somma è evidentemente uguale a 1.111111111 numero che non per nulla infinitamente grande, uguale infatti a 10/9, nonostante la somma sia infinita, inoltre l'ennesimo termine è uguale a 1/(10^(n-1)).


Dunque questa somma converge, non ha cioè come somma l'infinto, ma osserviamo che questa ha una proprietà che la precedente non aveva: i termini diventano sempre più piccoli, e sopratutto tendono a 0, si avvicinano cioè sempre di più allo 0, senza tuttavia mai raggiungerlo. Questa è evidentemente una condizione necessaria affinché una serie converga, ma in generale non è sufficiente, vediamolo con qualche esempio di serie.


Non scrivo le dimostrazioni di queste serie in quanto è abbastanza difficile dimostrarlo rigorosamente.


1 + 1/2 + 1/3 + + 1/n = infinito. Notiamo che nonostante i termini della somma diventino sempre più piccoli la serie diverge ugualmente. La serie viene chiamate serie armonica.


1+ 1/4 + 1/9 + 1/25 + + 1/n^2= (p^2)/6 ecco un risultato davvero sorprendente, che cosa c'entra p in questa serie? Tralascio la dimostrazione, ma il risultato è assolutamente corretto. Notiamo che in questo caso i termini successivi tendono a 0 e la serie converge.


1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + + 1/n^4 = (p^4)/90 Anche qui compare p senza che ci sia un motivo evidente.


1 + 1/64 + 1/n^6 = (p^6)/945 Come per la serie precedente.


1 + 1/2^26 + 1/n^26 = 131586*p/11094481976030578125 Pura curiosità matematica, come le tre precedenti è stata scoperta da Eulero, senza l'aiuto di un calcolatore.


1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + + 1/((1/2)*n(n+1)) = 2 Questa è la somma dei reciproci di particolari numeri, detti triangolari.


A^1 + A^2 + A^3 + + A^N = A/(1-A) se -1<A<1, altrimenti la serie diverge. Questa particolare serie viene chiamate serie geometrica.


1 + 1/1! + 1/2! + +1/n! = e (n! significa n*n-1*n-2**2*1).


La somma dei reciproci dei numeri pari e dei numeri dispari invece diverge.


Scarica gratis Serie infinita
Appunti su:



Scarica 100% gratis e , tesine, riassunti



Registrati ora

Password dimenticata?
  • Appunti superiori
  • In questa sezione troverai sunti esame, dispense, appunti universitari, esercitazioni e tesi, suddivisi per le principali facoltà.
  • Università
  • Appunti, dispense, esercitazioni, riassunti direttamente dalla tua aula Universitaria
  • all'Informatica
  • Introduzione all'Informatica, Information and Comunication Tecnology, componenti del computer, software, hardware ...

Appunti Fisica Fisica
Tesine Statistica Statistica
Lezioni Contabilita Contabilita