Operazioni con le derivate

OPERAZIONI CON LE DERIVATE

Teorema(sulle operazioni con le derivate)

Siano e due funzioni definite nell'intervallo I e I.

valgono le seguenti implicazioni

(f e g derivabili in )       SOMMA

(f e g derivabili in ) PRODOTTO

            RAPPORTO

La prima di queste tre implicazioni è di facile verifica e non ce ne occuperemo.

Dim. 2)

Sottraendo e aggiungendo f() g(x) risulta

==

=

Ponendo il limite persi ha la tesi, tenendo conto che g(x) è continua in perché ivi derivabile ed inoltre il teorema sulle operazioni con i limiti.

Dim. 3)

Osserviamo innanzitutto che essendo , per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di in cui risulta ancora . In tale intorno si ha, sottraendo e aggiungendo ;

=

Passando al limite pertenuto conto che le funzioni f e g sono continue inperché derivabili e il teorema sulle operazioni con i limiti(limite della somma e limite del prodotto), si ha la tesi.