LA
RAPPRESENTAZIONE della geometria di Riemann
E' possibile ora porre la medesima
domanda che abbiamo sollevato in relazione alla geometria di Lobacevskij e di Bolyai.
La geometria di Riemann ha qualche significato oltre a quello di un esercizio
intellettuale per i matematici? Anche qui la risposta è affermativa.Infatti è
possibile applicare la geometria di Riemann al mondo fisico con la medesima
interpretazione della linea retta e non scoprire mai differenze fra le
asserzioni della geometria e la situazione fisica. L'argomentazione è anche in
questo caso esattamente la stessa che nel caso della geometria di Lobacevskij e
di Bolyai. Modificando, inoltre, la nozione della linea retta, risulta
possibile trovare altre interpretazioni, intuitivamente soddisfacenti, della
geometria di Riemann. Così come la geometria euclidea era stata rappresentata
su una superficie cilindrica e la geometria di Lobacevskij e di Bolyai su una
pseudosfera, così possiamo rappresentare la geometria di Riemann sulla sfera
che ci è familiare. La curva che unisce due punti su una sfera col percorso più
breve (ossia la curva che sarà l'immagine della linea retta) è l'arco del
cerchio massimo che passa per i due punti. Per cerchio massimo intendiamo un
cerchio il cui centro sia anche il centro della sfera. Così, dei due cerchi che
passano per A e per B (fig. 8), il cerchio ABCDE è un
cerchio massimo, mentre il cerchio ABFGH non lo è.
Fig. 8. Un' interpretazione visiva della geometria di Riemann
Pertanto è possibile verificare se i
postulati della geometria di Riemann si applicano alla sfera, interpretando
naturalmente la linea retta dei postulati nel senso del cerchio massimo sulla
sfera. In primo luogo, i cerchi massimi sono illimitati e di lunghezza finita.
In secondo luogo, sulla sfera non esistono linee parallele, poiché tutti i
cerchi massimi si incontrano. Di fatto, essi s'incontrano non una volta sola
bensì due. Ad esempio, i cerchi massimi ABCDE e MNPD si
incontrano in N e D. L'assioma che due punti possono determinare
più di una linea è anch'esso realizzato sulla sfera. Per due punti quali N e
D nella figura 8 passa più di un cerchio massimo, mentre per due punti
come A e B passa solo un cerchio massimo.
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