I paradossi dello zero

I paradossi dello zero

1 Il nuovo millennio

Le cifre tonde sono sempre false.

Samuel Johnson

Per capire quanto sia importante lo zero è sufficiente analizzare gli effetti che la sua assenza ha. Un esempio eclatante in questo senso è il quesito che ci porgiamo ad intervalli puntuali di 100 anni: il nuovo secolo inizia con l'anno -00 o con l'anno -01?

Se pensiamo agli anni d.C. come numeri positivi e a quelli a.C. come numeri negativi, la successione cronologica sarebbe: -3, -2, -1, 1, 2, 3,. E' evidente l'assenza dello zero, che non è nella sua posizione naturale, ovvero tra -1 e 1. Immaginiamo ora che un bambino sia nato allo scoccare del primo gennaio dell'1 d.C. Il 2 d.C. compirebbe un anno, il 3 d.C. due anni, il 4 d.C. tre anni e così via fino ad arrivare al 99 d.C., quando compie 98 anni. Questo bambino diverrebbe poi centenario il primo gennaio 101, iniziando solo allora il proprio secondo secolo. Analogamente, il secondo secolo d.C. del calendario comincia nel 101, il terzo nel 201 e via dicendo fino al ventunesimo, iniziato il primo gennaio 2001. Il terzo millennio sarebbe quindi iniziato il primo gennaio 2001, ma noi non ce ne siamo accorti. Abbiamo festeggiato il nuovo millennio alla data sbagliata.

2 Creare dal nulla

Nulla nasce dal nulla.

Lucrezio

Un'idea che si è rivelata tra le più potenti della logica e della matematica è quella di insieme, introdotta dal logico britannico Boole.

Un insieme è una collezione di elementi, siano essi numeri, persone, o qualsiasi altra cosa. Possono essere finiti, come nel caso dell'insieme dei nati in un dato giorno, o infiniti, come nel caso dell'insieme dei numeri pari.

Boole definì due semplici modi per ottenere nuovi insiemi da quelli vecchi. Dati due insiemi A e B, l'unione di A e B, indicata con A  B, è formata da tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B; l'intersezione di A e B, indicata con A  B, è l'insieme che contiene elementi comuni ad A e B. Se A e B non hanno elementi in comune, come nel caso dell'insieme A dei celibi e dell'insieme B degli sposati, si dice che questi insiemi sono disgiunti: la loro intersezione è quindi l'insieme vuoto.

L'insieme vuoto è l'insieme che non contiene alcun elemento e si denota con il simbolo . Questo è il concetto più vicino al nulla a cui i matematici siano mai arrivati. Eppure dall'insieme vuoto possiamo generare quelli che chiamiamo numeri naturali in un modo semplice e rigoroso.

Definiamo il numero 0, associandolo all'insieme vuoto, , perché questo non ha nessun elemento. Ora definiamo il numero 1 come un insieme contenente un solo numero: lo 0. Il numero 1 è quindi l'insieme e contiene appunto un solo elemento. Essendo 0 precedentemente definito come l'insieme vuoto, ciò significa che il numero 1 è l'insieme che contiene l'insieme vuoto come unico elemento . E' importante capire che e  non sono la stessa cosa: il primo è un insieme che contiene un elemento, mentre il secondo è un insieme privo di elementi. Proseguendo in questo modo definiamo il numero 2 come l'insieme che è semplicemente l'insieme }. Analogamente il numero 3 è definito come l'insieme , ovvero ,}}.

Ciascun numero appartenente a N può così essere definito in termini di insiemi racchiusi l'uno dentro l'altro, come una matrioska, utilizzando solo il concetto di insieme vuoto . Paradossalmente, abbiamo costruito tutti i numeri a partire letteralmente dal nulla, dall'insieme privo di elementi

3 Achille e la tartaruga

Non sono d'accordo con i matematici.

La somma di molti zeri è una cifra spaventosa.

Stanislaw J. Lec

Secondo Zenone, filosofo presocratico, nessun oggetto nell'Universo era in grado di muoversi. Tale affermazione è chiaramente paradossale. La si può infatti contraddire semplicemente spostandosi da una parte all'altra di una stanza. Zenone portò però a sostegno della sua tesi un ragionamento che ai suoi tempi sembrava ineccepibile. Egli aveva infatti escogitato un dilemma destinato a tenere in scacco tanto i contemporanei quanto i posteri: il celebre rompicapo "Achille e la tartaruga", con cui Zenone tentò di dimostrare che Achille dal piede veloce non potrà mai raggiungere una tartaruga che, seppur lenta, abbia su di lui un vantaggio iniziale.

Immaginiamo che Achille proceda a 1 m/s, e che la tartaruga, partita un metro davanti a lui, proceda a 0,5 m/s. Achille scatta e dopo un secondo è già arrivato dove si trovava la tartaruga al momento del via; però nemmeno la testuggine sta ferma, e nel frattempo ha percorso mezzo metro. Achille però è più svelto e gli basta mezzo secondo per coprire quella distanza; peccato, però, che la tartaruga si sia mossa nuovamente, questa volta di un quarto di metro. In un quarto di secondo Achille ha recuperato, ma la tartaruga non è più lì e si trova ormai un ottavo di metro più in là. Per quanto Achille si avvicini, nell'istante in cui raggiunge il punto dov'era la tartaruga, essa si è spostata un po' più in là: un ottavo di metro, un sedicesimo, un trentaduesimo, un intervallo sempre più piccolo. Achille non riesce però mai a colmare lo svantaggio.

Tutti sanno che nel mondo reale Achille supererebbe in pochi secondi la tartaruga, ma il ragionamento di Zenone sembrava dimostrare il contrario e i filosofi dell'epoca non erano in grado di trovare l'errore insito nella dimostrazione.

Zenone aveva preso in esame il moto dividendolo in un numero infinito di minuscoli intervalli, e proprio a causa di quest'infinità i pensatori greci ritenevano che la gara dovesse continuare in eterno. Gli antichi non erano in grado di trattare con l'infinito, ma con le moderne conoscenze matematiche ci è facile capire l'errore commesso da Zenone, e ci corre in aiuto proprio lo zero.

I Greci non conoscevano lo zero, ma noi sì, ed è questa la chiave: qualche volta l'addizione di infiniti addendi dà un risultato finito. E' il caso in cui i termini sommati tendano a zero abbastanza "rapidamente". Nel sommare le distanze successivamente coperte da Achille, si parte con 1 e si continua poi con 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, e così di seguito, con quantità progressivamente più piccole e sempre più prossime a zero. Il limite a cui tendono questi numeri è appunto zero. La somma delle distanze percorse da Achille è 1+(1/2)²+(1/2)³+.+(1/2)ⁿ. Allo stesso modo in cui le falcate di Achille tendono a ridursi in lunghezza, la loro somma tende a Basta procedere al contrario per accorgersene: partendo da 2 e sottraendovi i termini della somma. Cominciamo da 2-1, che fa 1, togliamo 1/2 e rimane 1/2, togliamo 1/4 e rimane 1/4, togliamo 1/8 e rimane 1/8 e così via. Questa sottrazione ha per limite 0, il che equivale a dire che se da 2 si sottraggono i termini della successione non rimane nulla, e quindi che il limite della somma 1+(1/2)²+(1/2)³+.+(1/2)ⁿ è Ad Achille basteranno quindi 2 metri per raggiungere la tartaruga, anche se per farlo gli occorrono un numero infinito di falcate. Inoltre, poiché egli corre a 1 m/s, il tempo che impiega è pari alla distanza: impiegherà 2 secondi a raggiungere la tartaruga. Achille compie quindi infinite falcate per coprire la distanza di 2 metri in 2 secondi.

I Greci non avevano modo di dipanare l'intreccio perché non conoscevano il concetto di limite e non credevano nello zero come numero. Di conseguenza i greci non erano in grado di manipolare l'infinito.

Il paradosso di Achille e la tartaruga dimostra così quanto infinito, zero e l'idea di limite siano strettamente interconnessi

4 Gli infiniti zeri

A volte è utile sapere quanto grande sia il tuo zero.

Anonimo

Il paradosso di Zenone tenne in scacco i matematici per duemila anni. Achille sembrava essere condannato ad inseguire la tartaruga per sempre, senza riuscire mai a raggiungerla. In questo enigma si annidava l'infinito, l'alter ego dello zero.

Nonostante la successione immaginata da Zenone sia composta di infiniti termini, la loro somma è un numero finito: 1+1/2+1/4+1/8+1/16.=

Eppure non è sufficiente che i numeri della sequenza tendano progressivamente a zero per far sì che la loro somma sia finita: l'infinito non è affatto così banale.

Un matematico francese, Nicolas Oresme, lo ha dimostrato prendendo ad esempio la somma di un'altra sequenza illimitata di numeri, la cosiddetta "serie armonica":

I singoli addendi si avvicinano sempre di più a zero. Quando però Oresme cercò di addizionarli, si rese conto che il risultato continuava a crescere: sebbene essi tendano a zero, la loro somma tende ad infinito. Il matematico lo dimostro raggruppandoli come segue, senza contare l'1:

Il primo gruppo vale 1/2, il secondo è maggiore di (1/4+1/4)=1/2, il terzo è maggiore di (1/8+1/8+1/8+1/8)=1/2, e di questo passo la somma continua a crescere ogni volta di una quantità superiore a 1/2, tendendo quindi a infinito. Nonostante gli addendi tendano a zero, non lo fanno con sufficiente rapidità, e quindi la loro somma tende ad infinito.

Neanche lo zero sfugge alla bizzarra natura dell'infinità.

Consideriamo la seguente serie:  1-1+1-1+1-1+1-1+1-.; dimostrare che essa vale zero non è difficile, in quanto

è lo stesso che

che è evidentemente uguale a 0.

Facciamo però il raggruppamento in questo altro modo:

che equivale a

Otteniamo quindi risultato 1. La medesima infinita somma di zeri può dare 1 tanto quanto 0.