Geometria iperbolica

GEOMETRIA IPERBOLICA

Comincia ad affacciarsi nei primi decenni del XIX secolo l'idea che si possa costruire una geometria indipendente dal V postulato di Euclide.

Fù il matematico russo Lobačevskij che per primò organizzò in un sistema coerente i risultati ottenuti dalle ricerche di alcuni suoi predecessori a cui aggiunse grandi contributi. Per questo motivo è considerato il fondatore di quella che è stata definita "geometria immaginaria" e che in seguito prenderà il nome di "geometria iperbolica".

Nella geometria iperbolica la definizione di parallelismo è diversa da quella euclidea: per Lobačevskij infatti le parallele coincidono con le rette asintotiche di Saccheri, mentre le rette che non si incontrano mai vengono semplicemente dette "non-secanti".

La definizione di parallelismo nello specifico enuncia che:

Sia r una retta, P un punto non appartenente ad essa e PH la perpendicolare a r condotta da P. Si tracci da P la retta s perpendicolare a PH.

Tale retta, nella geometria euclidea, è l'unica retta non-secante r e passante per P.

Nella geometria iperbolica invece tale non secante non è l'unica (come aveva già dimostrato Saccheri).

Le rette passanti per P possono quindi essere suddivise in due gruppi le secanti e le non-secanti.

Lobačevskij chiama parallele a r solo le rette a e b, che delimitano i due angoli dove vengono a cadere le non-secanti.

L'angolo acuto che la retta a forma con PH, uguale all'angolo che B forma con il prolungamento di PH, è detto angolo di parallelismo.

Lobačevskij dimostra che tale angolo dipende dalla distanza d di P dalla retta r ed indica con Π(d) la sua misura espressa in radianti.

Dunque si ha che:

    e che .