Equazione differenziale del secondo ordine

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE

DEFINIZIONE

Dicesi equazione differenziale del secondo ordine una equazione che stabilisce un legame fra una variabile indipendente x, una funzione , almeno due volte derivabile e le derivate prima e seconda di questa funzione. Cioè:

qualcuno di queste variabili può non comparire ma deve sempre figurare.

Dicesi soluzione o integrale ogni funzione

avente, in un dato intervallo I di R derivata prima e seconda tale che soddisfi l'equazione data:

la corrispondente curva di dicesi CURVA INTEGRALE dell'equazione data.

Una equazione in forma normale è del tipo:

Risulta valido il teorema di Cauchy

sia data l'equazione differenziale

essendo una funzione continua in un insieme A a tre dimensioni (A).

se è  un punto interno ad A è possibile determinare un numero d>0 tale che nell'intervallo esiste almeno una funzione , continua insieme alla sua derivata prima e seconda, che soddisfi in I all'equazione differenziale e per alle condizione iniziale

  e

se, oltre alle ipotesi iniziali, in ogni punto interno ad A esistono e sono continue le derivate parziali rispetto alle variabili e , cioè e allora la soluzioneesiste ed è unica nell'intervallo I.

Interpretazione geometrica del teorema del teorema di Cauchy:

Sia B l'insieme del piano proiezione ortogonale di A ed indichiamo con il suo punto. Sia t la retta uscente da con coefficiente angolare .

La soluzione (o integrale ) , soddisfacente le condizioni iniziali (problema di Cauchy)

e

la cui esistenza ed unicità è annunciata dal teorema di Cauchy, è rappresentata da una curva passante per ed ivi tangente alla retta t.

Dicesi soluzione o integrale generale dell'equazione differenziale:

una funzione:

della variabile x e di due costanti arbitrarie c₁ e c₂ tali che:

verifica l'equazione differenziale qualunque siano c₁ e c_2;

seè un punto qualunque di è possibile determinare, in un solo modo, c₁ e c₂ in modo che sia soddisfatta il sistema:

dicesi soluzione particolare o integrale particolare dell'equazione differenziale ogni soluzione che si ottiene dall'integrale generale dando alle costanti c₁ e c₂ dei valori particolari.