Derivate

DERIVATE

 
Concetto di rapporto incrementale

Consideriamo una funzione y=f(x) definita in un intervallo  di estemi a e b.  Sia un punto del suo dominio. Diamo a un incremento h positivo, otteniamo così il punto . La funzione, mentre la variabile indipendente passa da a , varia da a  , cioè subisce l'incremento

- .

  Al  rapporto fra l'incremento della y e quello della x, cioè  a:

                                                                                                                                                                                        

si dà il nome di rapporto  incrementale della funzione   f(x) nel punto . La definizione è valida anche considerando un   incremento  negativo.
    Dal punto di vista geometrico, (vedi figura), il rapporto  incrementale  rappresenta il coefficiente angolare della retta secante passante per i  punti P e Q. Ciò è facilmente comprensibile se si tiene conto  che il coefficiente angolare della retta passante per P e Q è uguale  a       (      rappresenta l'angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x  e  anche l'angolo in P ) e che:

  =    .

(In ogni triangolo rettangolo, la tangente di un angolo  è uguale al rapporto fra la misura del cateto opposto e quella del  cateto adiacente all'angolo.)

Derivata di una funzione

Si definisce derivata prima o semplicemente derivata della funzione f(x) nel punto del suo dominio il limite se esiste ed è finito del  rapporto incrementale, cioè:

e si indica con i simboli , , .

La derivata, dal punto di vista geometrico, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto P.
Infatti , tenuto conto che il rapporto incrementale è uguale al coefficiente angolare della secante e considerato che al tendere di h a 0 la secante tende a diventare la tangente, l'affermazione è senz'altro vera.

Calcolo di derivate di funzioni elementari

Vogliamo ora determinare le derivate di alcune funzioni elementari. Iniziamo con f(x)=k (costante) nel punto
=1. A tal fine dobbiamo calcolare il limite

La derivata di una costante, indipendentemente dal punto in cui si calcola, è uguale a 0.
  Se consideriamo    nel punto   =1, avremo:  

La derivata di una funzione in un punto è quindi un numero reale.
Se la derivata invece viene calcolata nel punto generico x, è a sua volta una funzione della stessa variabile.
Determiniamo adesso la derivata della funzione f(x)=x, nel punto x.

Se ,

= .

A questo punto possiamo costruire una tabella con alcune funzioni elementari e a fianco le corrispondenti derivate generiche.
La derivata è stata indicata con il simbolo .

La tabella non è completa ma include le derivate prime delle principali funzioni elementari.