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CONTINUITA' E DISCONTINUITA' DELLE FUNZIONI
Definizione 1
Sia e . Si dice che f è continua in quando risulta
Si dice che f è continua nell'insieme A quando è continua in ogni punto di A.
Esempio 1
(v. pag. 14)
In sintesi ricordando che il limite di una somma e di un prodotto è la somma o il prodotto dei limiti si ha che la somma e il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue.
Esempio 2
(v. pag. 14 e 15)
E' evidente che la funzione identica e le funzioni costanti sono funzioni continue in R. Congruentemente sono continue le funzioni:
con .
Anche il rapporto di funzioni è una funzione continua ma, come al solito, occorre fare attenzione ai punti dove il denominatore si annulla.
Ad esempio il rapporto fra le funzioni e equivale alla frazione
E tale funzione è continua in
Allo scopo di comprendere meglio la nozione di continuità è importante anche definire i punti di discontinuità delle funzioni.
Definizione 1
Sia e . Si dice che è un punto di discontinuità eliminabile per f quando accade che ma non esiste oppure quando accade che , ma .
Osservazione
Se è una discontinuità eliminabile per f, la funzione
per
per
è continua in perché .
Tale funzione si chiama il prolungamento continuo di f in
Esempio
(v. pag. 15)
Si riporta l'es. della funzione che presenta una discontinuità eliminabile in e se ne scrive il prolungamento continuo.
Definizione 2
Sia e . Si dice cheè un punto di discontinuità di prima specie per f se i limiti sinistro e destro di f inesistono finiti e sono tra loro diversi.
Ad esempio la funzione
Ha in 0 una discontinuità di prima specie.
Definizione 3
Sia e . Si dice cheè un punto di discontinuità di seconda specie per f in quando almeno uno dei limiti sinistro o destro di f o è infinito oppure non esiste.
Ad esempio le funzioni
; .
Hanno in 0 una discontinuità di seconda specie.
Così pure le funzione
Ha in 0 una discontinuità di II specie.
Osservazione conclusiva
A conclusione di queste considerazioni osserviamo che il diagramma di una funzione f(x) continua in un intervallo I è una linea priva di interruzioni e cioè tale che si può descrivere senza mai sollevare la penna dal foglio. Se ciò accade in un punto , tale è un punto di discontinuità.
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