Continuita' e discontinuita' delle funzioni

CONTINUITA' E DISCONTINUITA' DELLE FUNZIONI

Definizione 1

Sia e . Si dice che f è continua in quando risulta

Si dice che f è continua nell'insieme A quando è continua in ogni punto di A.

Esempio 1

(v. pag. 14)

In sintesi ricordando che il limite di una somma e di un prodotto è la somma o il prodotto dei limiti si ha che la somma e il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue.

Esempio 2

(v. pag. 14 e 15)

E' evidente che la funzione identica e le funzioni costanti sono funzioni continue in R. Congruentemente sono continue le funzioni:

con .

Anche il rapporto di funzioni è una funzione continua ma, come al solito, occorre fare attenzione ai punti dove il denominatore si annulla.

Ad esempio il rapporto fra le funzioni    e equivale alla frazione

E tale funzione è continua in

Allo scopo di comprendere meglio la nozione di continuità è importante anche definire i punti di discontinuità delle funzioni.

Definizione 1

Sia e . Si dice che è un punto di discontinuità eliminabile per f quando accade che ma non esiste oppure quando accade che , ma .

Osservazione

Se è una discontinuità eliminabile per f, la funzione

per

per

è continua in perché .

Tale funzione si chiama il prolungamento continuo di f in

Esempio

(v. pag. 15)

Si riporta l'es. della funzione che presenta una discontinuità eliminabile in e se ne scrive il prolungamento continuo.

Definizione 2

Sia e . Si dice cheè un punto di discontinuità di prima specie per f se i limiti sinistro e destro di f inesistono finiti e sono tra loro diversi.

Ad esempio la funzione

Ha in 0 una discontinuità di prima specie.

Definizione 3

Sia e . Si dice cheè un punto di discontinuità di seconda specie per f in quando almeno uno dei limiti sinistro o destro di f o è infinito oppure non esiste.

Ad esempio le funzioni

;       .

Hanno in 0 una discontinuità di seconda specie.

Così pure le funzione

Ha in 0 una discontinuità di II specie.

Osservazione conclusiva

A conclusione di queste considerazioni osserviamo che il diagramma di una funzione f(x) continua in un intervallo I è una linea priva di interruzioni e cioè tale che si può descrivere senza mai sollevare la penna dal foglio. Se ciò accade in un punto , tale è un punto di discontinuità.