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Continuita' e discontinuita' delle funzioni




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CONTINUITA' E DISCONTINUITA' DELLE FUNZIONI


Definizione 1


Sia e . Si dice che f è continua in quando risulta



Si dice che f è continua nell'insieme A quando è continua in ogni punto di A.


Esempio 1

(v. pag. 14)

In sintesi ricordando che il limite di una somma e di un prodotto è la somma o il prodotto dei limiti si ha che la somma e il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue.


Esempio 2

(v. pag. 14 e 15)

E' evidente che la funzione identica e le funzioni costanti sono funzioni continue in R. Congruentemente sono continue le funzioni:


con .


Anche il rapporto di funzioni è una funzione continua ma, come al solito, occorre fare attenzione ai punti dove il denominatore si annulla.

Ad esempio il rapporto fra le funzioni    e equivale alla frazione



E tale funzione è continua in


Allo scopo di comprendere meglio la nozione di continuità è importante anche definire i punti di discontinuità delle funzioni.


Definizione 1


Sia e . Si dice che è un punto di discontinuità eliminabile per f quando accade che ma non esiste oppure quando accade che , ma .


Osservazione


Se è una discontinuità eliminabile per f, la funzione


per

per


è continua in perché .

Tale funzione si chiama il prolungamento continuo di f in


Esempio

(v. pag. 15)

Si riporta l'es. della funzione che presenta una discontinuità eliminabile in e se ne scrive il prolungamento continuo.


Definizione 2


Sia e . Si dice cheè un punto di discontinuità di prima specie per f se i limiti sinistro e destro di f inesistono finiti e sono tra loro diversi.

Ad esempio la funzione


Ha in 0 una discontinuità di prima specie.


Definizione 3


Sia e . Si dice cheè un punto di discontinuità di seconda specie per f in quando almeno uno dei limiti sinistro o destro di f o è infinito oppure non esiste.

Ad esempio le funzioni


;       .


Hanno in 0 una discontinuità di seconda specie.

Così pure le funzione



Ha in 0 una discontinuità di II specie.


Osservazione conclusiva


A conclusione di queste considerazioni osserviamo che il diagramma di una funzione f(x) continua in un intervallo I è una linea priva di interruzioni e cioè tale che si può descrivere senza mai sollevare la penna dal foglio. Se ciò accade in un punto , tale è un punto di discontinuità.


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