Concetti introduttivi di limite di una funzione

Nei paragrafi introduttivi abbiamo visto come si costruiscono i termini di una successione. Cercheremo ora di determinare, nei casi in cui abbia senso, il valore limite della successione, cioè il numero, se esiste, a cui tendono i termini della successione al crescere dell'indice n. Se i suoi elementi si possono identificare con un indice intero la variabile si dice numerabile, come negli esempi già incontrati. Se, invece, non è possibile enumerare gli elementi della successione si parla di variabile continua. Un esempio in questo senso è la successione dei valori di una variabile x compresa tra due valori reali, a e b. Presi due valori x', x'' nell'intervallo (a,b) è possibile stabilire quale dei due precede l'altro, pertanto la variabile è ordinata, ma non è possibile enumerare e disporre in ordine tutti i valori dell'intervallo. Questa proprietà riflette la differente cardinalità degli insiemi su cui la variabile è definita, come già detto a proposito dei numeri cardinali transfiniti. La teoria dei limiti che svilupperemo sarà valida sia per il caso delle variabili discrete che per quelle continue. Non sempre sarà possibile determinare il limite di una data variabile, in quanto alcune variabili potranno assumere valori sempre crescenti (oppure decrescenti), tendendo all'infinito (oppure a meno infinito) o anche, pur restando limitate, potranno oscillare tra diversi valori. Introduciamo ora alcune definizioni:

Una variabile x è detta limitata, in un intervallo I, se esiste un numero positivo M, tale che, per ogni valore di x appartenente all'intervallo I, risulta

|x| < M

Una variabile x è un infinitesimo se, per ogni numero reale positivo E, esiste un valore di x tale che per tutti i valori successivi è soddisfatta la relazione

|x| < E

Una successione, in particolare, si dice infinitesima se, a partire da un certo indice in poi, i suoi termini sono infinitesimi.