Cenni di geometria analitica

Consideriamo tutti i numeri reali, essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca, a ogni punto corrisponde uno e un solo numero e viceversa, con i punti di una retta, questa retta sarà dunque una retta ordinata, fissiamo l'ordine della retta con i numeri più piccoli a sinistra e i più grandi a destra (è solo una convenzione se preferisci fai il contrario), un punto che chiamiamo origine e lo facciamo coincidere con lo 0 (da ora in poi quando dirò un numero intenderò anche il punto ad esso associato e viceversa). Consideriamo ora una nuova retta, anch'essa con i punti in corrispondenza biunivoca con i numeri reali, fissiamo questa retta perpendicolare alla retta di partenza nell'origine e fissiamo un unità di misura uguale per entrambe le rette, la seconda retta avrà i numeri più piccoli in basso e i più grandi in alto. Abbiamo così individuato un piano, i cui punti possono essere visti come punti di incontro delle parallele agli assi (le due rette scelte prima), ogni retta parallela a un asse incontra l'altro asse in un determinato punto, ogni punto del piano sarà dunque determinato in modo univoco dai due numeri che equivalgono al punto di incontro di una parallela con l'asse, questi due numeri sono detti coordinate del punto. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali costituiscono dunque tutto il piano, si possono scegliere però solo delle coppie particolari, che abbiano una certa proprietà, e disegnare solo quei punti le cui coordinate abbiano questa determinata proprietà, questa proprietà sarà scrivibile sotto forma di equazione che lega in qualche modo una coordinata all'altra.

Immaginiamo ora di estendere questi concetti inserendo una nuova retta, perpendicolare al piano nell'origine, ora individueremo tutto lo spazio, e ogni punto sarà caratterizzato non più da due coordinate, ma da tre, sempre con il sistema delle parallele agli assi, solo che non sono più rette parallele agli assi, bensì piani, infatti l'intersezione di tre piani, che non siano coincidenti, è sempre un punto, immaginate le pareti di una stanza in un angolo della stanza.

A questo punto concettualmente non c'è nessuna particolare difficoltà a costruire una teoria geometrica in cui ogni punto sia caratterizzato da addirittura più di tre coordinate, costruire cioè uno spazio a più di tre dimensioni. Concettualmente è impossibile da visualizzare, ma non vi è nessuna difficoltà nel fare i calcoli, ci saranno sempre delle relazioni che legano le coordinate dei punti, solo che queste coordinate possono in numero qualunque, l'unica cosa è che oltre le tre dimensioni manca una visualizzazione grafica, è impossibile cioè disegnare le figure ottenute.