Cantor e la nuova concezione di infinito

Cantor e la nuova concezione di infinito

Presentazione al concetto di infinito

La definizione di insieme infinito

Insiemi numerabili

Confronto tra potenze

Teorema di Cantor

Presentazione al concetto di infinito

Il concetto d'infinito è sempre stato inteso, proprio per il suo significato etimologico, come ciò che non è compiuto, o come ciò che non ha limite.

Non è designata una realtà ma un processo: si chiama infinito quello che ha sempre qualcosa oltre a sé; si tratta in altre parole di una concezione 'operativistica' dell'infinito.

Occorre inizialmente chiarire la differenza tra i due concetti d'infinito, quello potenziale e quello attuale.

Quando, infatti, si parla d'INFINITO POTENZIALE, s'intende una grandezza variabile finita, che cresce al di là d'ogni limite finito; l'INFINITO ATTUALE ha come suo significato un quanto costante, fisso in sé, tuttavia posto al di là d'ogni grandezza finita.

Esiste poi un'ulteriore differenza tra le due forme d'infinito attuale: il TRANSINFINITO e l'ASSOLUTO, due concetti rigorosamente separati.

Il primo, infatti, è riferito ad un infinito attuale ma ancora "accrescibile", il secondo ad un infinito non accrescibile e per questo motivo non determinabile matematicamente.

Questa distinzione netta è merito di Georg Cantor, che sconvolse completamente le teorie matematiche dell'infinito.

Egli fa notare che i numeri (finiti e no) possono essere visti in due modi diversi: ordinali e cardinali. Guardiamo all'aspetto ordinale quando siamo interessati al loro ordinamento (naturale); l'obiettivo del contare è proprio quello di sapere "quanti sono", ma è vero che per contare è necessario ordinare: da qui il legame indissolubile dei due aspetti.

Fatta questa distinzione, il passo successivo di Cantor è lavorare con i cardinali infiniti visti come esempi d'infinito attuale. Per evitare di parlare di "infiniti", ha preferito definire questi numeri come transfiniti.

La definizione di insieme infinito

Inizialmente, Cantor ricerca una definizione d'infinito a partire dalla teoria degli insiemi. Egli ebbe "l'ardire intellettuale" di applicare la più semplice definizione d'uguaglianza del numero cardinale di due insiemi, cioè la loro equipotenza, anche al caso d'insiemi infiniti.

Egli considera due insiemi A e B equipotenti, cioè:

Definizione: due insiemi qualsiasi hanno lo stesso numero cardinale (o la stessa potenza) se sono equipotenti, cioè se tra di loro può essere definita una biiezione. Il numero cardinale di un insieme A si indica con il simbolo Card[A]. Dunque:       Card[A] = Card[B] A≡B 

Da questa definizione, Cantor riesce a dimostrare ciò che duecento anni prima Galileo Galilei aveva soltanto ipotizzato, ma non era stato in grado di verificare: "Una parte può essere equivalente al tutto".

Cantor si preoccupa di ridefinire il concetto d'uguaglianza, non da intendersi come identicità ma come equipotenza. Può accadere che l'intero insieme e una sua parte, che non saranno mai identici, risultino però equipotenti (abbiano dunque la medesima cardinalità). Questo fenomeno non si verifica mai, quando si parla d'insiemi finiti, risulta invece una caratteristica di quelli infiniti.

Definizione "Un insieme si dice INFINITO, se è equipotente a qualche sua parte propria; nel caso opposto si chiama finito".

Per la prima volta si definisce il finito a partire dal non- finito.

Esempio: consideriamo l'insieme N dei numeri naturali e l'insieme P dei numeri pari. E' possibile mettere in corrispondenza biunivoca le due serie, facendo corrispondere all'1 il 2, al 2 il 4, al 3 il 6 e così via. Sembra incredibile poiché la totalità dei numeri naturali contiene "tanti" elementi "quanti" il sottoinsieme dei numeri pari. Altri esempi possono essere fatti tra N ed i numeri dispari, oppure tra N ed i quadrati; proprio quest'ultimo esempio era quello fornito da Galileo.

Ne consegue che il numero transinfinito delle due serie (ponendo in tutti gli esempi sempre N come la prima) è lo stesso, sebbene la seconda parte sia solo una parte della prima.

Insiemi numerabili

Definizione: Ogni insieme M che può essere messo in corrispondenza biunivoca con N (insieme infinito dei numeri naturali), quindi è equipotente a N, è detto NUMERABILE.

Allora i due insiemi M e N hanno lo stesso numero cardinale d'elementi, che viene chiamato potenza del numerabile ed indicato con la lettera ebraica (alef). Dunque per definizione: = Card[N]. La cardinalità dell'insieme N dei numeri naturali è , verrà dimostrato che è la cardinalità anche dell'insieme Z dei numeri interi relativi (positivi e negativi) e Q, dei numeri razionali (cioè di tutte le frazioni ridotte ai minimi termini, con segno).

Considerando gli insiemi che contengono i primi successivi ampliamenti di N, si vuole ora studiare la numerosità dei tre insiemi numerici Z, Q e R; sarà possibile verificare che, mentre gli interi ed i razionali sono numerabili, l'insieme dei reali non lo è.

Procedendo con ordine: "l'insieme Z dei numeri interi, positivi e negativi, più lo zero, è numerabile".

Non è del tutto immediato, infatti, se ordiniamo Z nel modo consueto si ottiene: Z = . In questo modo però non esiste un primo termine, quindi non prova che Z sia numerabile. Se, invece, si considera Z = , allora verifichiamo la numerabilità.

Infatti, ogni elemento di Z può essere, se così ordinato, indicizzato associandolo ad un ben determinato numero naturale. Per esempio, se al primo termine 0 associamo l'indice 1, il numero +3 avrà l'indice 7, +9 l'indice 19, -12 l'indice 24 e così via.

"L'insieme Q di tutti i numeri razionali è numerabile"

Innanzitutto consideriamo l'insieme Q dei razionali da 0 compreso a 1 escluso e ordiniamolo nel modo seguente: poniamo lo 0 all'inizio e poi le frazioni secondo denominatori crescenti e secondo numeratori crescenti all'interno di ciascun gruppo di denominatori uguali. L'insieme Q dei razionali tra 1 compreso e 2 escluso si ottiene sommando 1 a ciascun termine di Q

A questo punto si costruisce uno schema con gli intervalli successivi ottenendo un quadro che per ogni riga contiene ogni intervallo compreso tra un numero naturale e quello successivo escluso. Il quadro è illimitato a destra ed inferiormente. Procedendo con un sistema per diagonale, si dimostra che l'insieme dei razionali non negativi è numerabile. Per l'ordinamento finale di Q si procede come per Z dimostrandone la numerabilità.

Consideriamo adesso l'insieme R dei numeri reali, ovviamente infinito. E' sufficiente prendere i numeri compresi tra 0 e 1. Per provare che R non è numerabile è sufficiente provare che non è numerabile il sottoinsieme costituito dai numeri reali compresi tra 0 e 1.

Immaginiamo che siano numerabili: allora li possiamo scrivere per definizione in un certo ordine. È chiaro che non saranno in ordine crescente, ma potremmo avere ad esempio:

A questo punto, costruiamo un numero in questo modo:

• inizia con "0,".
• la cifra decimale al posto n è "8", se il numero in posizione n ha come n-sima cifra una tra "0,1,2,3,4"; è "3", se ha come n-sima cifra una tra "5,6,7,8,9".

Prendendo la nostra successione di numeri, abbiamo
0,96523873450345
0,2432140000125.
0,312512411439328
0,987312234832488
0,15037320000000.
0,14159265358979

e costruiamo il numero 0,388838. Visto che abbiamo detto che abbiamo messo tutti i numeri nella nostra lista, vediamo adesso dove si trova. Non può essere il primo, perché la prima cifra dopo la virgola è diversa. Non può essere il secondo, perché la seconda cifra dopo la virgola è diversa. Non può essere il terzo

In realtà non possiamo trovarlo. Quindi la nostra ipotesi è falsa, e i numeri tra 0 e 1 non sono un insieme numerabile. Ne consegue che:

A    l'insieme R non è equipotente a N e risulta "più grande"dell'insieme dei numeri naturali

A    non tutti gli insiemi infiniti sono numerabili

Il numero transinfinito che spetta all'insieme dei reali risulta così maggiore di Questo numero cardinale di R è detto POTENZA DEL CONTINUO, indicato con Card[R].

Confronto tra potenze

Un'ulteriore questione a cui si vuole dare risposta è determinare se è maggiore la potenza del continuo o quella del numerabile.

E' necessario dunque stabilire un criterio di confronto valido tanto per gli insiemi finiti quanto per quelli infiniti.

Partendo dai cardinali finiti, è necessario confrontare due insiemi A e B senza però dover "contare" i loro elementi. Perciò, si considera dal primo insieme un elemento e così anche per il secondo, formando una prima coppia; si reitera poi il processo, fino a quando ci fermeremo, o perché sono esauriti gli elementi di A e B, allora sono equipotenti, oppure perché gli elementi di A si sono esauriti prima di quelli di B.

In questo caso si dice che A è equipotente ad una parte propria di B d il suo numero cardinale sarà il minore dei due Dunque:

Definizione: Se A e B sono finiti e se esiste una parte propria di B equipotente ad A, allora:        Card[A] < Card[B]

Consideriamo adesso gli insiemi infiniti, per esempio N e Z. Quest'ultimo contiene il sottoinsieme proprio N' = , che è equipotente a N; però Z è numerabile, perciò Card[N]=Card[Z]. Quindi la definizione data, da sola, non va bene per confrontare le potenze dei due insiemi infiniti, quando questi sono equipotenti. Se però aggiungiamo la condizione che i due insiemi non siano equipotenti, otteniamo un criterio di confronto valido sempre:

Definizione: Siano A e B due insiemi non equipotenti. Se esiste una parte propria di B equipotente ad A, allora si dice che A ha potenza minore di B.

Esempio: consideriamo il sottoinsieme di R, Q dei numeri reali razionali. Questo insieme è equipotente a Q e, d'altra parte, Q≠R, cioè Q e R non sono equipotenti, quindi: Card[Q] < Card[R], cioè: < potenza del continuo.

Dunque: la potenza del continuo è maggiore di quella del numerabile.

Due importanti teoremi sono la conseguenza di questa definizione:

Teorema 1: Se F è finito e I è infinito, allora Card[F]<Card[I]

Dimostrazione: Basta considerare che I non è equipotente né a F né a nessun sottoinsieme proprio di F, perché i sottoinsiemi di F sono tutti finiti.

Teorema 2: Non esistono cardinali infiniti minori del numerabile:se I è un qualsiasi insieme infinito, allora Card[I]≥

Dimostrazione: Se un insieme infinito I, avesse potenza minore di N, dovrebbe essere non equipotente a N e inoltre equipotente ad un sottoinsieme proprio di N. Ma questo è impossibile, poiché i sottoinsiemi infiniti di N, sono tutti numerabili.

Teorema di Cantor

L'ultima analisi che si vuole effettuare è necessaria per rispondere alla domanda: è possibile costruire insiemi aventi la potenza maggiore del continuo? Sì, la spiegazione si trova nel Teorema di Cantor:

Teorema di Cantor: L'insieme delle parti P(E) di un qualunque insieme E ha potenza maggiore di quella di E.

Dimostrazione: Si divide la dimostrazione in due parti:

1. Se E è finito e possiede n elementi si dimostra per via numerica che: Card[P(E)]=2ⁿ. Poiché 2ⁿ >n, il teorema è dimostrato. Vale anche per il caso E come insieme vuoto poiché ha potenza 1, mentre Card[E vuoto] = 0
2. Sia E infinito. Considerando i sottoinsiemi di E che contengono un solo elemento: , , ecc. La funzione che associa ad a, a b, e così via è una corrispondenza biunivoca tra E e una parte propria di P(E). Per dimostrare il teorema è necessario dimostrare che E e P(E) non sono equipotenti. Supponiamo per assurdo che lo siano; esisterebbe una corrispondenza biunivoca f che associa a ogni x appartenente E un elemento Px di P(E). Può accadere che un dato x appartenga al sottoinsieme Px che gli corrisponde oppure no. Definiamo l'insieme I nel modo seguente: x appartiene ad I se x appartiene ad E e x non appartiene a Px. Questo I differisce da ogni Px per almeno l'elemento x; perciò I è un sottoinsieme di E che non corrisponde a nessun x nella corrispondenza f, contro l'ipotesi che questa sia biunivoca.