Trasformata di Laplace

L[f (t-t)] = e^-ts F(s)    Traslazione nel tempo

L[e^kt f(t)] = F(s - k)

Teorema del valore iniziale

Teorema del valore finale  

Teorema del prodotto integrale o di convoluzione L[f(t)*g(t)] = F(s) G(s)

SISTEMI ELEMENTARI DEL PRIMO ORDINE

La funzione caratteristica è dove t è la costante di tempo.

Tempo di assestamento: tempo occorrente affinché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale. E' pari a 3t

SISTEMI ELEMENTARI DEL SECONDO ORDINE

La funzione di trasferimento è , con d coefficiente di smorzamento e w_n pulsazione naturale­­. Poniamo d = cos j

Si definisce inoltre la pulsazione naturale smorzata

MARRO

Massima sovraelongazione S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'ascissa e il valore finale . Normalmente si esprime in percentuale del valore finale.

Tempo di ritardo T_R: tempo necessario per raggiungere il 50% del valore finale.

Tempo di salita T_S: tempo occorrente perché l'uscita passi dal 10% al 90% del valore finale.

Istante di massima sovraelongazione T_M o tempo di primo picco T_P: istante al quale si presenta la massima sovraelongazione. E' pari a p w_d

FANTI

Massima sovraelongazione percentuale M_P

Tempo di assestamento T_S al 5% è ~, al 2% è ~

Tempo di salita T_R

Costante di tempo del sistema T

Se d>1 il sistema si dice sovrasmorzato

se il sistema si può approssimare con un sistema del primo ordine

Se 0<d<1 si ha che

Uno zero a parte reale negativa fa diventare il sistema più veloce.

Sistema a fase minima: non ha né zeri, né poli a parte reale positiva

STABILITA' DEI SISTEMI LINEARI

Perturbiamo un sistema, inizialmente in quiete, con un segnale d'ingresso diverso da zero per un intervallo di tempo di durata limitata.

Comportamento semplicemente stabile: risposta limitata

Comportamento asintoticamente stabile: risposta convergente asintoticamente a 0

Comportamento instabile: risposta divergente.

Per un sistema non lineare il comportamento può essere diverso al variare del punto di equilibrio e della perturbazione. Un punto di equilibrio si dice globalmente stabile se è stabile per perturbazioni di qualunque entità. Se ciò avviene per un qualunque punto di equilibrio si dice che il sistema è globalmente stabile.

Il comportamento dei sistemi lineari non dipende né dal punto di equilibrio, né dall'entità della perturbazione.

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità semplice è che la funzione di trasferimento non presenti alcun polo a parte reale positiva e che gli eventuali poli a parte reale nulla siano semplici.

Per la stabilità asintotica è necessario e sufficiente che tutti i poli abbiano parte reale negativa.

Cancellazione polo - zero

Quando uno zero e un polo coincidono si possono semplificare.

Quando uno zero e un polo sono vicini tra loro il residuo del polo diminuisce.

ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE

ERRORI A REGIME

Dipendenza dal numero di poli nell'origine

Un polo nell'origine migliora la risposta a regime e la sensitività rispetto alle variazioni parametriche e ai disturbi.

Un polo nell'origine si inserisce con un integratore nella catena diretta.

Valori di K_p, K_v, K_a elevati si ottengono inserendo un amplificatore nella catena diretta.

METODO DEL LUOGO DELLE RADICI

E' un procedimento grafico per la costruzione del tracciato descritto nel piano complesso dalle radici dell'equazione caratteristica al variare di un parametro, normalmente la costante di guadagno d'anello K. Al variare di K da 0 a le radici dell'equazione 1 + G(s) H(s) = 0 descrivono una curva nel piano s, a cui si dà il nome di luogo delle radici.

          T

Eq. dei moduli           Eq. delle fasi

Proprietà del luogo delle radici

Il luogo delle radici ha tanti rami quanti sono i poli della funzione G(s)H(s). I rami, simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli di G(s)H(s) e terminano negli zeri di G(s)H(s) o in un punto all'infinito.

Per K m rami tendono verso gli zeri ed n - m rami tendono ad

Se K è positiva, un punto dell'asse reale fa parte del luogo delle radici se si lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli. Se la costante K è negativa un punto dell'asse reale fa parte del luogo se si lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli.

Se la costante K è positiva, l'angolo secondo il quale il luogo delle radici lascia un polo p_i è . L'angolo secondo il quale il luogo tende ad uno zero z_i è . Se la costante K è negativa si sostituisce 2up a (2u p

Una radice multipla di ordine h corrisponde ad un punto comune ad h rami del luogo delle radici, in cui sono soddisfatte le relazioni che esprimono l'annullarsi delle derivate della funzione di guadagno d'anello G(s)H(s) fino alla (h-1)-esima.

In corrispondenza di una radice di ordine h il luogo presenta h rami entranti e h rami uscenti, alternati fra di loro, le cui tangenti dividono lo spazio circostante in settori uguali di p/h radianti.

Gli asintoti del luogo delle radici formano una stella di raggi con centro nel punto dell'asse reale di ascissa che formano con l'asse reale gli angoli se K>0. Se K è negativa si sostituisce 2up a (2u p

Determinazione dei punti doppi appartenenti all'asse reale

I punti doppi sono le radici della derivata dell'equazione caratteristica. K=-1/[G(s)H(s)]

Le soluzioni di K'(s)=0 sono soluzioni della derivata dell'equazione caratteristica. Si deve verificare che questi punti appartengano al luogo delle radici. Se è difficile risolvere l'equazione K'(s)=0 si possono cercare per tentativi i valori di s per i quali K è massimo o minimo relativo.

ANALISI ARMONICA

LA FUNZIONE DI RISPOSTA ARMONICA

Se si applica ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile il segnale d'ingresso x(t)=Xsen(wt), in condizioni di regime stazionario periodico l'uscita è y_r(t)=Y(w)sen(wt+j w

Si definisce funzione di risposta armonica la funzione F(w) di variabile reale a valori complessi avente come modulo il rapporto Y(w)/X e come argomento l'angolo j w

In un sistema lineare, tempo invariante, asintoticamente stabile, la funzione di risposta armonica F(w) è legata alla funzione di trasferimento G(s) dalla relazione F(w)=G(jw

DIAGRAMMI DI BODE

Essendo la funzione di risposta armonica a valori complessi si impiegano due diversi diagrammi, uno dei quali (detto diagramma delle ampiezze, o dei moduli, o diagramma a) riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica in funzione del logaritmo della pulsazione w e l'altro (detto diagramma delle fasi, o degli argomenti, o diagramma b) riporta l'argomento della risposta armonica, sempre in funzione del logaritmo della pulsazione w

Usiamo carta con scala semilogaritmica sia per le ampiezze che per le fasi. La scala delle ampiezze è graduata in decibel. La fase si riporta in gradi. 1db=20LogG(jw

Possiamo ottenere i diagrammi di G(jw) data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari corrispondenti ai singoli fattori.

K

Modulo: retta orizzontale di ordinata . Fase:

(jw)^-h

Modulo: retta passante per l'origine di pendenza -20h db/dec. Fase j w) = - h 90°

(1+jwt

Approssimiamo il diagramma di Bode col diagramma asintotico.

Definiamo w t pulsazione di break.

Modulo

Errore massimo per  w w pari a 3db.

Il diagramma reale è al di sotto del diagramma asintotico.

Fase

Raccordiamo le 2 rette con la tangente al diagramma nel punto (w

I punti di intersezione sono w_a w /4.81 e w_b w

Se t<0 il diagramma delle ampiezze risulta immutato con punto di break , mentre il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.

Modulo: asintoti

Se d=0 il modulo per w w_n è infinito. L'approssimazione con il diagramma asintotico non va bene per piccoli valori di d

Ampiezza di risonanza M_R=  è l'ampiezza massima e si ha in corrispondenza della pulsazione di risonanza e con

Se la curva interseca l'asse delle ascisse a destra di w_n

Se la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra di w_n

Se       il diagramma reale è al di sotto del diagramma asintotico

Fase

Raccordiamo le 2 rette con la tangente al diagramma reale in (w_n

Le intersezioni si hanno per w_a w_n ^d e w_b ^d w_n

Se d=0 la variazione di fase è brusca. La fase è indeterminata.

Se -1<d<0 il sistema è instabile. Il diagramma delle fasi è speculare rispetto all'asse delle ascisse.

Larghezza di banda w_b pulsazione alla quale il modulo della risposta armonica è inferiore di 3 db al valore statico G₀(0)

Rete ritardatrice: attenua le alte frequenze. Introduce un ritardo di fase w

con a<1.  Il massimo ritardo si ha per

Rete anticipatrice: amplifica le alte frequenze. Introduce un anticipo di fase w

con a<1. Il massimo anticipo si ha per

DIAGRAMMI DI NYQUIST O POLARI

Si utilizzano per la rappresentazione della funzione di risposta armonica. Forniscono la curva che rappresenta nel piano di Gauss il variare del numero complesso G(jw) in funzione della pulsazione w. La curva è graduata in valori della pulsazione.

REGOLE PER IL TRACCIAMENTO DEI DIAGRAMMI POLARI

Comportamento per w

Se h=0

Per studiare il comportamento per piccoli valori di w trascuriamo i termini in w

Poniamo e

Oppure T

Se h=1 (un polo nell'origine) si ha un asintoto verticale

Se h=2

Non è detto che vi siano asintoti

Comportamento per w

Se n = m

Se n>m

dove:

è il numero di poli a parte reale

è il numero di poli a parte reale > 0

è il numero di zeri a parte reale

è il numero di zeri a parte reale > 0

IL CRITERIO DI NYQUIST

Consente di stabilire se un sistema, del quale si conosca la risposta armonica ad anello aperto sia stabile o meno una volta chiuso in retroazione. Costituisce anche un'utile guida per valutare l'efficacia di possibili interventi che, attraverso opportune modifiche della funzione di risposta armonica ad anello aperto, migliorino il comportamento dinamico del sistema in retroazione.

N = Z - P

Dove N è il numero di rotazioni in senso orario del diagramma di Nyquist intorno al punto -1 + j0, Z è il numero degli zeri a parte reale positiva dell'equazione caratteristica e P è il numero di poli a parte reale positiva della funzione di trasferimento in anello aperto.

SINTESI

COMPENSAZIONE MEDIANTE RETI RITARDATRICI

La funzione di trasferimento di una rete ritardatrice è .

La rete ritardatrice riduce il guadagno alle alte frequenze senza influire sulla costante di guadagno. L'inconveniente principale è la riduzione del guadagno alle alte frequenze. Questo si traduce in una risposta transitoria meno pronta e in una neutralizzazione dei disturbi ad alta frequenza meno efficace.

Scegliamo come frequenza di cross-over di guadagno del sistema compensato la frequenza in corrispondenza della quale sul diagramma delle fasi si legga il margine di fase desiderato.

Imponiamo quindi che 20 Log a = - 20 Log G(j)

Da questa relazione determiniamo a

Dalla relazione ricaviamo t. Imponiamo una distanza tale da impedire che il ritardo di fase introdotto dalla rete ritardatrice abbia influenza in corrispondenza di .

N.B. Le reti ritardatrici non si possono utilizzare per compensare sistemi di tipo 2, perché questi sistemi hanno una fase sempre inferiore a -180°.

Procedimento

Determino K in base alla specifica sull'errore a regime.

Disegno il diagramma di Bode.

Verifico se il M_F soddisfa la specifica.

Se la specifica su M_F non è verificata assumo =M_F + e con e

Determino

Determino a dalla relazione 20 Log a = - 20 Log G(j)

Determino t dalla relazione

Se la specifica su M_F è verificata mi fermo, altrimenti torno al punto 4.

COMPENSAZIONE MEDIANTE RETI ANTICIPATRICI

La funzione di trasferimento di una rete anticipatrice è .

Vogliamo fare in modo che la rete anticipatrice introduca il massimo anticipo di fase j_m in corrispondenza della frequenza di cross-over di guadagno del sistema compensato .

Perciò imponiamo che sia = w_m = . L'anticipo di fase j_m dev'essere tale da portare il margine di fase ad un valore che soddisfi la specifica.

Si imporrà quindi j_m = M_{F desiderato} - M_{F sistema} + e con 5°<e<20°

e è un coefficiente di sicurezza che si introduce a causa dello spostamento verso destra di  dovuto all'amplificazione. e è tanto maggiore quanto maggiore è la velocità con cui la fase diminuisce all'aumentare di w

Possiamo quindi determinare a dalla relazione .

La rete anticipatrice aumenta il guadagno alle alte frequenze e quindi la larghezza di banda. Questo significa che si ottiene una risposta più pronta.

Se j_m > 60° si introducono 2 reti anticipatrici.

Procedimento

Determino K in base alla specifica sull'errore a regime.

Disegno il diagramma di Bode.

Verifico se il M_F soddisfa la specifica.

Se la specifica su M_F non è verificata pongo j_m = M_{F desiderato} - M_{F sistema} + e con 5°<e<20° .

Determino a dalla relazione .

Determino dalla relazione 10 Log a = 20 Log G(j)

Determino t dalla relazione = w_m = .

Se la specifica su M_F è verificata mi fermo, altrimenti torno al punto 4.