OGGETTO DELLA ESRCITAZIONE: verifica del principio di Fermat

Visite: 1364

Gradito:

[ Medio appunti ]

Leggi anche appunti: L'elettroencefalogramma L'elettroencefalogramma L'elettroencefalografia (EEG) è la registrazione dell'attività elettrica Enigma - Il codice segreto della Wehrmacht Enigma Il codice segreto della Wehrmacht 1 Bosoni e fermioni BOSONI E FERMIONI Secondo il Modello Standard esistono due grandi classi

Villaggio

A

A

1000m

C O D

1000m

2000m B

SEMPLIFICAZIONE DELLA STESSA ESRCITAZIONE IN BASE

ALL'IPOTESI DI FERMAT DELL' ANALOGIA TRA LA Villaggio B

RIFRAZIONE E IL PROBLEMA DELLA SFIDA TRA I VILLAGGI

A

i

ARIA O D

ACQUA C

B

CONSIDERAZIONI SUL FENOMENI DELLA

RIFLESSIONE E DELLA RIFRAZIONE

Abbiamo studiato che quando un raggio di luce che si propaga nell'aria incontra la superficie liscia di acqua , si spezza in due raggi.

Uno rimbalza e continua a propagarsi nell'aria.

L'altro penetra dentro l'acqua e prosegue in una direzione leggermente diversa rispetto a quella iniziale.

Il primo dei due raggi si chiama raggio riflesso, il secondo si chiama raggio rifratto.

Ora noi prendiamo in considerazione il fenomeno della rifrazione.

FENOMENO DELLA RIFRAZIONE

Come abbiamo già detto la luce che passa da una sostanza ad un'altra sostanza con caratteristiche fisiche diverse subisce il fenomeno della rifrazione: in corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi il raggio di luce non continua a propagarsi in linea retta, come avviene in un mezzo omogeneo, ma cambia bruscamente direzione.

Ciò è dovuto al fatto che la luce si propaga nei due mezzi con velocità diverse. Il fenomeno della rifrazione è descritto dalla legge di Snell.

Tale legge afferma che il rapporto tra la proiezione del raggio incidente, e la proiezione del raggio rifratto è costante, cioè non dipende dall'ampiezza dell'angolo di incidenza.

Tale rapporto, costante, viene chiamato indice di rifrazione del primo mezzo rispetto al secondo.        

LA SFIDA TRA I VILLAGGI

Due villaggi, A e B, si trovano sulle sponde opposte di un grande fiume largo 1Km. Mentre però le case del villaggio B sono situate proprio sulla sponda del fiume il villaggio A dista circa 1Km dall'altra sponda.

In oltre il villaggio B si trova a circa 2Km a est del villaggio A ogni anno tra i due villaggi si svolge una sfida.

Due concorrenti rappresentanti dei due villaggi partono dal villaggio A portando ciascuno una piccola canoa e corrono al fiume dove si imbarcano sulle rispettive canoe e remando cercano di raggiungere il villaggio B per primi. Ogni concorrente può scegliere liberamente il proprio percorso.

La velocità dei concorrenti è di 8Km/h a piedi e di 6Km/h in canoa.

Trascurando la corrente del fiume il tuo compito è quello di aiutare un concorrente a giungere nel minor tempo possibile al traguardo.

RISOLUZIONE DEL PROBLEMA

Il percorso più breve sarebbe certamente quello che congiunge A e B in linea retta se l'intero percorso fosse compiuto a velocità costante, non avremmo dubbi. Infatti, sappiamo dalla cinematica che, se un corpo si muove di moto rettilineo uniforme, la distanza che percorre è proporzionale al tempo che impiega a percorrerla, e perciò se è minima la distanza è pure minimo il tempo impiegato.

Però il problema che stiamo considerando prevede che il percorso sia effettuato a due velocità diverse. Questo potrebbe far si che distanza minima e tempo minimo non coincidano.

Quindi per risolvere il problema ho deciso di rappresentarlo con un disegno (vedere pagina 01) e di dare al campo di gara alcune lettere di riferimento. Ho chiamato C il punto in cui la perpendicolare tracciata da A al fiume incontra la sponda sinistra e ho indicato con D il punto in cui la perpendicolare tracciata da B attraverso il fiume incontra la stessa sponda,

infine ho indicato con O il punto in cui il concorrente entra nel fiume.

Verifica principio di Fermat

(CONTINUAZIONE )

Ora che abbiamo preso un punto qualsiasi fra C e D e lo abbiamo chiamato O il percorso del concorrente sarà formato dalle ipotenuse dei due triangoli rettangoli AOC e BOD.

Per calcolare quale sia il percorso che si compie in minor tempo non ci resta che calcolare per ogni diversa posizione del punto O, la somma dei tempi impiegati per percorrerle.

TABELLA

Per facilitare questa operazione posso realizzare una tabella dove prendo venti posizioni del punto O compreso tra C e D e mi calcolo per ognuna l'ipotenusa  del primo e del secondo triangolo che si vengono a formare cioè il segmento AO e BO poi per ogni segmento calcolo il tempo impiegato a percorrerlo infine sommo i tempi parziali.

I dati ricavati li metto nelle rispettive posizioni della tabella di pagina 05. .

GRAFICO

Per evidenziare l'andamento del tempo in funzione della posizione del punto O ho fatto un grafico.

Ho posizionato sull'asse delle Y la colonna del tempo di percorrenza totale e sull'asse delle X ho messo i valori della colonna distanza CO.

Il grafico ottenuto ora mostra che il tempo di percorrenza ha il valore minimo in corrispondenza di CO = 1300m.

CONCLUSIONI

Questa esercitazione ci ha dimostrato la validità del principio di Fermat infatti la prova proponeva un problema analogo a quello della rifrazione, infatti come l'atleta tra tutti i percorsi ha scelto quello che può essere percorso nel minor tempo possibile così la luce sceglie il percorso più breve fra tutti i possibili.

DATI ESERCIZIO

Distanza da A al fiume:        1000m

Larghezza del fiume:            1000m

Distanza tra i punti C e D: 2000m

Velocità corsa:                      2.2 m/s

Velocità canoa:                     1.7m/s

TABELLA

IL principio di Fermat

Il problema della sfida tra i villaggi propone un problema simile a quello che si verifica quando un raggio di luce incontra nel suo cammino una superficie di separazione tra due sostanze entrambi trasparenti ma con diverse caratteristiche fisiche, come, ad esempio l'aria e l'acqua.

Anche i questo caso l'oggetto in movimento (la luce) passa da una data velocità ad una minore; anche in questo caso la traiettoria non è una linea retta ma una spezza.

Un famoso scienziato Pier Fermat formulò un ipotesi secondo cui l'analogia tra problema della sfida tra i villaggi e il fenomeno della rifrazione è ancora maggiore.

Infatti suggerì l'idea che la luce tra tutti i percorsi segua quello che può essere percorso nel minor tempo possibile.

La figura B rappresenta schematicamente un esperimento in cui un raggio di luce passa dall'aria all'acqua.

L'esperimento dovrebbe essere realizzato in laboratorio, ma possiamo descriverlo ugualmente, ammettendo la validità della legge di Snell.

Il cerchio rappresentato in figura B ha, nella realtà, un raggio di 5 cm. Noi teoricamente regoliamo il fascio di luce incidente, in modo che passi per O e che CO misuri 4 cm. Per la legge di Snell, conoscendo l'indice di rifrazione dell'acqua (1.333), possiamo calcolare OD:

OD=CO/1.333=3cm

Mediante il teorema di Pitagora calcoliamo le distanze dei punti A e B dalla superficie di separazione dei due mezzi.

Otteniamo:

AC=3cm

BD=4cm

Ora conosciamo la posizione dei punti di partenza e di arrivo del raggio luminoso sappiamo che la luce si propaga nell'aria alla velocità di 3*10 m/s e nell'acqua alla velocità di 2.26*10 m/s.

La verifica da eseguire consiste in questo: sappiamo che il raggio di luce, parte dal punto A e raggiunge il punto B; potrebbe scegliere tra infiniti percorsi. Conoscendo la velocità della luce nei due mezzi, determiniamo, fra tutti quello che la luce dovrebbe seguire per andare da A a B nel minor tempo possibile.

Se il percorso così calcolato risulterà identico a quello osservato sperimentalmente avremo la conferma dell'ipotesi di Fermat.

Verifica del principio di Fermat

TABELLA

Per eseguire la verifica ho usato la stessa tabella che avevo costruito per la sfida tra i villaggi, immettendo i nuovi valori.

GRAFICO

Come per la tabella anche il grafico l'ho fatto uguale al precedente solo cambiando i valori.

CONCLUSIONI

Questa esercitazione ci ha dimostrato la validità del principio di Fermat infatti la prova proponeva un problema analogo a quello della rifrazione, infatti come l'atleta tra tutti i percorsi ha scelto quello che può essere percorso nel minor tempo possibile così la luce sceglie il percorso più breve fra tutti i possibili.

Verifica del principio di Fermat

DATI ESERCIZIO

Lunghezza AC: 3 cm

Lunghezza BD: 4 cm

Distanza tra i punti CD:                            7 cm

Velocità luce nell'aria:                3.00E+10 cm/s

Velocità luce nell'acqua:             2.26E+10 cm/s

TABELLA