Lo Spazio-Tempo piatto (o di H. Minkowsky)

Lo Spazio-Tempo piatto (o di H. Minkowsky)

La discussione su cosa siano spazio e tempo è nata quando l'uomo ha cercato di quantificare i dati provenienti dalla sfera sensoriale e molto probabilmente non finirà mai. Noi non abbiamo in Natura esempi concreti di spazio e di tempo, essi sono stati introdotti dall'uomo per spiegare i fenomeni, sono quindi delle convenzioni. Per sviluppare la sua teoria Einstein, dovendo seguire i postulati di Relatività Ristretta, comprese che l'usuale spazio Euclideo tridimensionale non era più adatto a descrivere i fenomeni. Egli cercò di trovare un altro modello che potesse essere usato per descrivere la Natura e lo riprese da un modello matematico di uno Spazio-Tempo quadridimensionale ( per la precisione tre + uno dimensionale) elaborato da Hermann Minkowsky. Einstein ebbe la brillante intuizione di concepire un Universo dove Spazio e Tempo fossero correlati e che l'uno fosse in funzione dell'altro. Come abbiamo già affermato, in Matematica per metrica si intende un insieme per i cui elementi è possibile determinare una legge in grado di esprimere la distanza. Anche lo Spazio-Tempo ha una metrica che deve rispettare:

La distanza tra due elementi deve essere espressa da un numero positivo o nullo;

La distanza tra due elementi è nulla se e solo se i due punti coincidono;

La distanza tra un elemento A ed un elemento B è uguale alla distanza tra l'elemento B e l'elemento A;

La distanza tra un elemento A ed un elemento B è minore o uguale alla somma delle distanze che intercorrono tra A ed un terzo elemento C e da questo all'elemento B, (disuguaglianza triangolare).

Lo Spazio -Tempo di Minkowsky oltre a rispettare la metrica e le leggi del calcolo della distanza, deve anche tenere conto dei postulati di Relatività Ristretta esattamente come la metrica euclidea deve fondarsi sul postulato del Teorema di Pitagora. Abbiamo postulato che c è costante, cerchiamo, dunque, la relazione che intercorre tra c, lo Spazio ed il Tempo:

elevando al quadrato e portando tutto a sinistra:

poniamo:

quindi:

la 32) è la formula cercata che mette in relazione gli intervalli spaziali, temporali e la costante c.

Se un corpo si muove alla velocità della luce percorre un intervallo nullo. Di conseguenza notiamo che se due eventi sono uniti da un raggio di luce essi sono simultanei.

Possiamo generalizzare la legge della distanza per corpi che si muovono con velocità diversa da c:

considerando i membri di sinistra della 33) possiamo riscrivere l'equazione e far emergere le quattro dimensioni:

in un modo più sintetico e più formale possiamo riscrivere la metrica dello Spazio-Tempo:

Abbiamo definito una nuova distanza in uno Spazio-Tempo tre + uno dimensionale a curvatura nulla. Da un punto di vista geometrico e matematico questa metrica è definita pseudometrica complessa pseudoeuclidea. Pseudometrica in quanto per esistere necessita di una modifica alla seconda condizione che una legge per la distanza deve rispettare: in questo caso infatti la distanza tra due eventi coincidenti è sicuramente nulla, ma non è necessario che due eventi debbano essere coincidenti affinché la loro distanza sia nulla. Complessa poiché sono ammessi anche dei numeri complessi, oltre a quelli reali, che esprimano la distanza. Pseudoeuclidea perché formalmente è molto simile ad una metrica Euclidea.

Nello Spazio-Tempo piatto due punti sono denominati eventi e ciascuno di essi è caratterizzato da una quaterna di numeri (t,x,y,z,). Un fenomeno invece traccia in un grafico Spazio-Tempo una curva denominata linea di Universo. Vedi fig.(14-a). Enunciamo un'altra proprietà fondamentale che una metrica deve rispettare: siccome in virtù del secondo postulato di Relatività Ristretta tutti i Sistemi di Riferimento Inerziali sono fisicamente equivalenti, anche la metrica dovrà essere invariante rispetto al cambio di coordinate da un sistema all'altro, ovvero:

La metrica si conserva nel passaggio da un sistema ad un altro. Nel nuovo Spazio-Tempo sono ora da definire i concetti di simultaneità e la classificazione degli intervalli temporali. Per la Fisica classica due eventi sono simultanei se avvengono nello stesso istante di tempo indipendentemente dalla loro posizione spaziale (se anche essa coinciderà allora i due eventi saranno coincidenti). Inoltre la simultaneità è un concetto assoluto, valido per qualsiasi sistema di riferimento. Per la Relatività Ristretta, la simultaneità tra due eventi non è più un concetto assoluto poiché gli istanti di tempo dipendono anche dalle posizioni in  cui gli eventi accadono. Si mantengono simultanei, invece, gli eventi tra loro coincidenti, ovvero collegati da un raggio di luce, in quanto l'intervallo Spazio-Temporale percorso dalla luce è un invariante relativistico. A favore del concetto di simultaneità è la celebre affermazione di Einstein secondo il quale se si fosse compresa tale affermazione si sarebbe compresa la Relatività:

"Il treno arriva in stazione alle 7: 00!"

Questa proposizione evidenzia come l'arrivo del treno ed il posizionamento della lancetta dell'orologio sul numero 7, siano simultanei e posseggano un senso solo se viene specificato il dove e il quando. Consideriamo un ulteriore esempio, come in fig.(15-a):

Sia S un osservatore posto all'interno di un vagone vuoto di un treno in moto relativo uniforme rispetto al suolo e situato esattamente a metà di questo. Improvvisamente S accende una lampadina appesa al soffitto del vagone esattamente nel suo centro e nota che i raggi di luce emessi tornano, dopo essere stati riflessi da due specchi posti alle estremità del vagone, all'osservatore nel medesimo istante. L'arrivo dei due raggi di luce è per S simultaneo. Prendiamo in considerazione un secondo osservatore S' posto a terra ed in quiete rispetto a questa. Per il principio di relatività quando S accende dall'interno del vagone la lampadina, la luce da lei emessa viaggerà a velocità c costante in ogni direzione, indipendentemente dalla direzione del moto del treno. S' vedrà quindi la testa del vagone allontanarsi dal raggio luminoso e la coda del vagone avvicinarsi. Concludiamo che per S' i due raggi non tornano ad S nel medesimo istante. La riformulazione del concetto di simultaneità ci induce alla riformulazione del concetto di causalità. Per la Fisica classica due eventi sono in relazione causale se uno è causa dell'altro ma non viceversa. (Infatti ciò cui è causa dell'effetto non potrà mai essere l'effetto della causa!). Questa definizione rimane valida anche in Relatività Ristretta ma con alcune aggiunte. Consideriamo nello Spazio-Tempo due eventi caratterizzati da un intervallo spaziale nullo e da un intervallo temporale in generale non nullo, ad esempio l'accensione e lo spegnimento di un fiammifero, il che avviene sempre nello stesso punto dello spazio. Abbiamo quindi:

in virtù della metrica dello Spazio-Tempo si ha che:

l'intervallo è caratterizzato da un numero reale quindi deduciamo che gli eventi sono in rapporto causale. Per le trasformazioni di Lorentz, se due eventi sono in rapporto causale in un determinato sistema di riferimento allora essi lo saranno in tutti i sistemi di riferimento. Inoltre:

se due eventi sono in rapporto causale allora essi saranno necessariamente congiunti da un segnale che viaggia ad una velocità subluminale. Consideriamo ora due eventi che avvengono nello stesso istante di tempo ma in punti dello spazio differenti. Per la Fisica classica questi eventi sono simultanei e quindi non possono essere in rapporto causale. Questo vale anche in Relatività benché i due eventi non siano necessariamente simultanei per tutti i sistemi di riferimento:

In questo caso i due eventi sono caratterizzati da un intervallo immaginario, e dovrebbero inoltre essere congiunti da un segnale che viaggi a velocità superluminale:

Anche in questo caso se due eventi non sono in rapporto causale in un sistema di riferimento essi non lo saranno in nessun sistema di riferimento. Infine, come già detto due eventi sono simultanei se sono congiunti da un raggio di luce. Se volessimo rappresentare visivamente i tre tipi di intervalli analizzati dovremmo usare un diagramma di Minkowsky, costituito da un "ipercono di luce". Lo riproponiamo in due dimensioni nella fig.(16-a). Sulle ascisse sono rappresentate le tre dimensioni spaziali e sulle ordinate è posta quella temporale. Le due bisettrici rappresentano tutti gli eventi simultanei e caratterizzati da:

Una proprietà singolare di questo diagramma è che vengono utilizzati anche i quadranti che hanno tempo e spazio negativi! Infatti nello Spazio-Tempo le coordinate di un evento possono essere anche negative. Le due bisettrici dividono il piano in tre regioni: tutti gli eventi che hanno coordinata temporale negativa rappresentano il passato di un evento, l'origine degli assi rappresenta il presente, ed infine, gli eventi caratterizzati da coordinate temporali positive rappresentano il futuro. Vi è un' ulteriore suddivisione: solo gli eventi che hanno un intervallo reale, cioè che possiedono la 38) sono eventi in rapporto causale tra loro, tutti gli eventi che non rispettano la 38) rappresentano "l'altrove" e non sono attualmente indagabili fisicamente. Tornando al problema dell'invarianza della metrica: quali sono le trasformazioni che rendono invariante la metrica di Minkowsky come le trasformazioni di Galilei rendono invariante la metrica Euclidea? Fu sempre Einstein a risolvere questo problema riconsiderando le famose trasformazioni di Lorentz.