La velocità media è una grandezza utile per caratterizzare il moto però
a volte può portare a considerazioni sbagliate. Per esempio, supponiamo di
viaggiare in automobile e percorrere 92km in 2 ore. La nostra velocità media è
di 46km/h ma sicuramente ci saranno stati solo pochi istanti durante i quali
avevamo tale velocità. Per avere una rappresentazione più accurata del viaggio,
occorre effettuare la media su intervalli di tempo più piccoli. L'ideale
sarebbe conoscerne la velocità in ogni istante: questa idea di una velocità corrispondente
a ogni istante di tempo è proprio ciò che intendiamo con l'espressione"velocità
istantanea" e viene definita come il limite per la variazione di tempo tendente
a zero del rapporto che definisce la velocità media (delta x/delta t). Dal
punto di vista grafico siamo soliti considerare la velocità media in un grafico
spazio-tempo come la pendenza della retta che congiunge due punti
corrispondenti agli istanti iniziali e finali. Man mano che gli intervalli di
tempo diventano più piccoli, la retta assume una pendenza il cui valore si
avvicina sempre di più a quello della pendenza della tangente. Ciò può essere
riassunto nel seguente risultato generale: la velocità istantanea in un dato
istante è uguale alla pendenza della tangente al grafico spazio-tempo in
quell'istante.
Il concetto di velocità istantanea nasce nel Medioevo, nel contesto
delle più ampie ricerche di cinematica effettuate soprattutto presso il Merton
College di Oxford ed elaborate soprattutto da Nicola Oresme anche attraverso la
prima rappresentazione grafica. In particolare, si dà la seguente definizione:
'Nel moto non uniforme la velocità sarà misurata in un qualsiasi istante
dalla linea che descriverebbe il corpo se, per un determinato periodo di tempo,
si muovesse uniformemente con quel grado di velocità con cui si muove
nell'istante dato'. Queste idee e rappresentazioni grafiche furono riprese
da Galileo Galilei, che spesso è erroneamente indicato come l'ideatore del
concetto di velocità istantanea. Per Galilei era necessaria una geometrizzazione
(rappresentazione 'statica') dello spazio e del moto, e a questo fine
il concetto di velocità istantanea era di base come per il passaggio da una
concezione (antica e medioevale) del moto come 'processo' ad una
concezione del moto come'stato'. Galilei individuò anche quale
fenomeno fisico potesse dare informazioni effettive indirette sulla velocità
istantanea non direttamente misurabile (per la misura della velocità sono
necessarie due misure di posizione a due istanti differenti): il processo d'urto,
dipende approssimativamente, per la sua rapidità, dalla velocità istantanea dei
corpi al momento dell'impatto. Isaac Newton seguì l'idea di Galilei di una
concezione del moto come 'stato' ed elaborò il calcolo differenziale
proprio per rappresentare matematicamente il concetto di velocità istantanea:
storicamente quindi è il concetto di derivata a nascere da quello di velocità
istantanea, e non viceversa, e l'analisi non è che una scienza del 'moto
generalizzato".
Il presente rapporto è il rapporto incrementale(rapporto
tra l'incremento della funzione e l'incremento corrispondente della variabile
indipendente) della funzione spazio relativo all'istante generico t e
all'incremento delta t. Si passa così al concetto di derivata: la derivata di
una funzione f(x) in un punto Xo è il limite, se esiste, del rapporto
incrementale, al tendere a 0 dell'incremento dato alla variabile indipendente.
La velocità istantanea diventerà perciò:
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