La meccanica ondulatoria : Equazioni d'onda

La meccanica ondulatoria : Equazioni d'onda

L'ipotesi di de Broglie, che ad ogni particella in movimento sia associata un'onda 'materiale' la cui lunghezza d'onda è inversamente alla sua quantità di moto, in sintesi, che qualsiasi corpuscolo abbia un carattere ondulatorio, fu sposata immediatamente da Erwin Schrödinger (1887-1961). Fu tale la convinzione dello scienziato viennese, che di lì a poco sarebbe diventato il più fervente sostenitore dell'idea che tutto in natura è un'onda e che solo in determinate condizioni, legate principalmente al metodo usato per l'osservazione, la materia si comporta 'come se' fosse realmente materiale, ovvero un corpuscolo.
Nel 1926, Schroedinger propose un'equazione che mette in relazione l'energia cinetica e l'energia potenziale con'energia totale del sistema in esame, per ogni punto delle coordinate spaziali. La soluzione di questa equazione fornisce (è) la funzione d'onda del sistema, e si indica con ψ.

I concetti che derivano dall'applicazione dell'equazione di S. per la descrizione dell'atomo di idrogeno sono riassunti di seguito in forma sintetica.

L'equazione di Schroedinger

L'equazione di Schroedinger per l'atomo di idrogeno, nella forma semplificata che tiene conto esclusivamente della struttura interna dell'atomo, è la seguente:

Il motivo principale per cui riteniamo opportuno mostrare l'equazione è quello di avere un riferimento concreto su cui basare la nostra discussione. A grandi linee, possiamo associare E(ψ) all'energia totale del sistema (l'atomo di H, nel caso specifico), V(ψ) all'energia potenziale (dovuta essenzialmente all'energia di attrazione coulombiana fra protone ed elettrone e all'energia centrifuga legata al moto dell'elettrone), e il termine differenziale all'energia cinetica (legata alla velocità del moto dell'elettrone). Il termine differenziale compare qui espresso come 'operatore' (operatore di Laplace) e indica appunto una operazione matematica da compiere sulla ψ. Esso si riferisce alle coordinate dell'elettrone, prendendo il nucleo atomico come riferimento degli assi cartesiani; in pratica:

In alternativa, l'operatore si può esprimere in termini di due componenti, una radiale ed una angolare, trasformando le coordinate cartesiane in coordinate polari. La parte radiale avrà il significato di esprimere la densità elettronica in funzione della distanza r dal nucleo, la parte angolare dipende invece dalla direzione e descriverà la forma e l'orientazione spaziale dell'orbitale.

È perfettamente inutile tentare di descrivere la procedura per trovare le funzioni d'onda che siano soluzioni dell'equazione, poiché né io né voi abbiamo gli strumenti matematici necessari per comprenderla.

Quello che invece è importante è comprendere i concetti fondamentali correlati con l'equazione di Schroedinger e soprattutto quelli che scaturiscono dall'interpretazione del significato della funzione d'onda.
Questi concetti possono essere riassunti nei seguenti punti:

• L'equazione d'onda è un'equazione differenziale di 2° grado che ammette infinite soluzioni. Le soluzioni sono funzioni d'onda. 
• Se attribuiamo alle funzioni d'onda un particolare significato, possiamo eliminare un gran numero di quelle soluzioni che divengono 'fisicamente' inaccettabili. 
• Se si accetta l'interpretazione di Max Born (vedi nel testo base: Il significato della funzione d'onda), sono accettabili solo le ψ che siano: univoche (un unico valore per r), finite, continue e tali anche come derivata prima. 
• Queste imposizioni di ammissibilità sono piuttosto severe, tanto da limitare non solo il numero delle soluzioni, ma anche da porre vincoli ai valori di energia. Tutto ciò equivale ad introdurre il principio di quantizzazione. 
• Affinché si realizzino queste condizioni di accettabilità, è necessario introdurre nella funzione d'onda tre numeri quantici, che siano interi positivi e correlati l'uno con l'altro in modo definito.

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Affinché le funzioni d'onda siano soluzioni accettabili, abbiano cioè un significato fisico, è necessario attribuire dei valori interi ben definiti ad alcuni parametri che compaiono in esse. Questa operazione si fa introducendo i cosiddetti numeri quantici, i quali definiscono una funzione particolare, ψ(n,l,m), detta funzione d'onda orbitale, o semplicemente orbitale.