I problemi di hilbert

I PROBLEMI DI HILBERT

Le osservazioni di carattere metodologico premesse da Hilbert al suo elenco di problemi, sono illuminanti sulla sua concezione della Matematica e del suo sviluppo 'È innegabile il grande significato di determinati problemi per il progresso della scienza matematica in generale e il ruolo importante che essi giocano nel lavoro del singolo ricercatore", affermava Hilbert. Un matematico francese ha detto una volta che una teoria matematica non si può considerare completa finché non sia stata resa chiara al punto da poter essere spiegata al primo che passa per la strada. Lo stesso si può dire di un buon problema matematico: semplice da enunciarsi, e tuttavia intrigante, difficile ma non del tutto inabbordabile. L'insuccesso nell'affrontare un problema dipende spesso " dalla nostra incapacità di riconoscere il punto di vista più generale dal quale il problema che abbiamo di fronte ci appare come un singolo anello in una catena di problemi collegati fra loro" . Trovato il giusto livello di generalità, non solo il problema si rivela più accessibile ma spesso troviamo anche i metodi adatti a risolvere problemi ad essere collegati. L'illimitata fiducia nelle capacità della ragione umana portava Hilbert a enunciare una sorta di 'legge generale' del nostro pensiero, a stabilire come un assioma che qualunque problema matematico doveva essere suscettibile di soluzione. 'In Matematica non c'è alcun Ignorabimus!' affermava (troppo) ottimisticamente Hilbert, rovesciando il celebre detto di Emil Du Bois-Reymond.

Il teorema di finitezza

Il primo lavoro di Hilbert sulle funzioni invarianti lo portò a dimostrare nel 1888 il suo famoso teorema di finitezza. Vent'anni prima Gordan aveva dimostrato il teorema della finitezza dei generatori per le forme binarie usando un complesso approccio computazionale. I tentativi di generalizzare questo metodo per funzioni con più di due variabili fallirono, proprio a causa delle difficoltà di calcolo. Lo stesso Hilbert cercò all'inizio di seguire il sistema di Gordan, ma ben presto capì di dover intraprendere una strada del tutto diversa. Dimostrò così il teorema di finitezza di Hilbert: un metodo per dimostrare che esiste un insieme di generatori finito per un numero di variabili qualsiasi, ma in forma totalmente astratta: pur dimostrandone l'esistenza, non si fornisce un sistema per costruirlo. Hilbert inviò il suo lavoro ai Mathematische Annalen. Gordan, l'esperto sulla teoria degli invarianti per i Mathematische Annalen, non riuscì ad apprezzare il rivoluzionario teorema di Hilbert e rifiutò l'articolo, criticandone l'esposizione, a suo dire poco esaustiva. Il suo commento fu: 'Questa è teologia, non matematica!' Tuttavia Klein riconobbe l'importanza del lavoro di Hilbert, e gli garantì la pubblicazione, senza alcun cambiamento. Spronato da Klein e dai commenti di Gordan, Hilbert in un secondo articolo espanse il suo metodo, fornendo stime sul grado massimale dell'insieme minimo dei generatori, e lo inviò di nuovo agli Annalen. Dopo aver letto il manoscritto, Klein gli scrisse, dicendo: 'Senza dubbio questo è il lavoro più importante sull'algebra generale che gli Annalen abbiano mai pubblicato'.

Assiomatizzazione della geometria

Il lavoro Fondamenti di geometria, pubblicato da Hilbert nel 1899, sostituisce agli assiomi di Euclide un insieme formale, composto di 21 assiomi, che evita le contraddizioni derivanti da quello di Euclide. Indipendentemente e contemporaneamente, uno studente statunitense di 19 anni, Robert Moore pubblicò un insieme di assiomi equivalenti. È interessante notare che, sebbene alcuni assiomi siano gli stessi, qualche assioma di Moore è un teorema nel sistema di Hilbert, e viceversa.

I 23 problemi

Dopo aver risolto brillantemente i problemi della geometria, Hilbert si accinse a fare lo stesso con la matematica. Riconoscendo comunque l'impresa superiore alle sue sole forze, preparò una lezione dal titolo 'I problemi della matematica' per il Secondo Congresso Internazionale di Matematica.

Eccone l'introduzione:

Chi di noi non sarebbe felice di sollevare il velo dietro cui si nasconde il futuro; di gettare uno sguardo ai prossimi sviluppi della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo nei secoli a venire? Quali saranno le mete verso cui tenderà lo spirito delle future generazioni di matematici? Quali metodi, quali fatti nuovi schiuderà il nuovo secolo nel vasto e ricco campo del pensiero matematico?

Il discorso venne pronunciato a Parigi durante il Congresso, dove Hilbert introdusse i suoi famosi 23 problemi: anche se alcuni vennero risolti in breve termine, altri sono stati e continuano ad essere una sfida per i matematici.
Con questa iniziativa, Hilbert diede il via alla scuola formalista, una delle tre scuole della matematica del 1900. Secondo il formalismo la matematica è un gioco privo di significato in cui si gioca con contrassegni privi di significato secondo regole formali concordate in partenza. Essa è quindi un'attività autonoma del pensiero. Nonostante le buone intenzioni, il suo tentativo di assiomatizzazione della matematica era destinato a fallire: nel 1931 Godel dimostrò come un sistema formale che non fosse contraddittorio non potesse dimostrare la sua completezza. Tuttavia nulla si dice riguardo la dimostrazione da parte di un differente sistema formale sulla completezza della matematica. Tra i suoi studenti vi furono Hermann Weyl, il campione di scacchi Lasker e Ernst Zermelo. John Voion Neumann fu suo assistente.

Spazio di Hilbert

Circa nel 1909, Hilbert si dedicò allo studio delle equazioni differenziali ed integrali: i suoi lavori portarono direttamente allo sviluppo della moderna analisi funzionale. Per questi suoi studi, Hilbert introdusse il concetto di spazio a infinite dimensioni, chiamato in seguito spazio di Hilbert. Oltre ad essere di grande utilità nello studio della della meccanica quantistica, gli permise di contribuire allo sviluppo della teoria cinetica dei gas e alla teoria della radiazione. In seguito, Stefan Banach ampliò il concetto, definendo gli spazi di Banach, fondamento dell'assiomatizzazione della teoria delle funzioni integrali.

Ponendo in primo piano il rigore nelle dimostrazioni come requisito per una completa soluzione di un problema, vorrei d'altra parte confuta re al tempo stesso l'opinione secondo cui soltanto i concetti dell'analisi, o addirittura soltanto quelli dell'aritmetica sarebbero suscettibili di una trattazione pienamente rigorosa. Ritengo del tutto errata una tale opinione, sostenuta talvolta da eminenti personalità. Una così unilaterale interpretazione del requisito del rigore conduce ben presto a ignorare tutti i concetti provenienti dalla geometria, dalla meccanica e dalla fisica, a troncare l'afflusso di nuovo materiale dal mondo esterno e infine, magari come ultima conseguenza, a respingere i concetti di continuo e di numero irrazionale. Ma che importante nervo vitale verrebbe reciso dalla matematica, con l'estirpazione della geometria e della fisica matematica! Ritengo, al contrario, che dovunque emergano concetti matematici, sul versante della teoria della conoscenza oppure in geometria o nelle teorie delle scienze naturali, sorge per la matematica il compito di indagare i principi che stanno alla base di questi concetti e di fissarli mediante un sistema di assiomi semplice e completo, in modo tale che la precisione dei nuovi concetti e la loro utilizzabilità nella deduzione non siano in nessun aspetto inferiori rispetto a quelle dei vecchi concetti aritmetici.

CONGRESSO DI PARIGI

AI II Congresso Internazionale dei Matematici che ha luogo a Parigi nel 1900, David Hilbert presenta 23 problemi fino ad allora non risolti in diversi settori della matematica. Sono problemi che, nella sua opinione, avrebbero attirato l'attenzione dei ricercatori del nuovo secolo.