Equilibrio dei corpi rigidi e momento

EQUILIBRIO DEI CORPI RIGIDI E MOMENTO

Una trave pesante 20 N è appoggiata a due sostegni e sottoposta a due forze verso il basso le cui intensità e posizioni sono deducibili dalla figura 2.4.1.

I due sostegni garantiscono l'equilibrio della trave. Abbiamo visto nel 2.1 che, quando abbiamo a che fare con un corpo rigido esteso, per garantire l'equilibrio non basta che si bilancino le forze agenti sul sistema (condizione che garantisce l'equilibrio traslazionale), ma bisogna fornire condizioni aggiuntive che garantiscano che il corpo sia in equilibrio anche per quanto riguarda la rotazione.

La nostra trave, per esempio, è sottoposta a 5 forze (tre forze vere più due forze di reazione vincolare dovute alla presenza dei sostegni): poiché la forza totale verso il basso è di 170 N allora le due forze di reazione vincolare verso l'alto devono valere sommate 170 N. Questo traduce l'equazione

100 + 20 + 50 - R1 - R2 = 0              (2.4.1)

che sappiamo essere quella che governa l'equilibrio traslazionale.

Dal paragrafo 2.3 sappiamo comunque che la grandezza fisica che "governa" le rotazioni è il momento delle forze.

È logico dunque aspettarsi che la trave sarà in equilibrio per la rotazione quando i momenti orari bilanceranno quelli antiorari.

C'è solo un piccolo problema: nel 2.3 i momenti delle forze venivano calcolati a partire da un perno attorno al quale il corpo poteva ruotare; nella nostra trave non ci sono perni. Come facciamo?

Un teorema della fisica ci dice che, quando parliamo di corpi in equilibrio, un qualsiasi punto O detto POLO può far le veci del perno per il calcolo dei momenti..

Nel nostro esempio metteremo il polo O ove è posizionata R1.

È immediato vedere che in questo modo R1 ha momento nullo essendo nulla la sua distanza dal polo O.

È inutile dire che scegliere di mettere il polo O ove c'è una delle forze incognite (in questo caso le incognite sono R1 e R2) ci semplifica la vita perché riduce il numero di incognite del problema (nelle equazioni del momento infatti vedremo comparire solo R2: R1 è magicamente sparita).

Momenti orari:

M1 = F1·1·sin(90°) = 100·1·1 = 100 N·m

MP = 20·2 = 40 N·m

M3 = 50·3 = 150 N·m

Momento orario totale = 290 N·m.

Momenti antiorari:

MR2 = R2·4 sin(90°) = R2

Uguagliando momenti orari e antiorari abbiamo

290 N·m = R2·4                                 (2.4.2)

dalla quale si ricava

R2 = 290/4 = 72,5 N

Poiché R1 + R2 = 170 (vedi (2.4.1) che traduce l'equilibrio traslazionale), ne segue che

R1 = 170 - 72,5 = 97,5 N.