La «funzione valore»: proprietà formali

La «funzione valore»: proprietà formali

La variabile tempo e la sua funzione valore

Un contratto finanziario, nella sua forma più elementare, consente di scambiare poste monetarie (importi) disponibili in tempi diversi.

Le poste monetarie saranno caratterizzate dal valore nominale e dalla data di scadenza (data di disponibilità o di esigibilità), gli importi saranno quindi considerati positivi (evidentemente, nella pratica dello scambio, si usa la convenzione di contabilizzare positive le entrate, negative le uscite): con x_s si indica il numero, reale non-negativo, di unità di capitale (€) esigibili all’istante s.

Con v(t,T,s), t ≤ T ≤ s , si rappresenta il valore in T, pattuito al tempo t, di un’unità monetaria (1€) pagabile in s; in altri termini, v(t,T,s) è il numero reale che rappresenta il valore di un’unità monetaria in s misurato (in unità monetarie) al tempo T, avendo definito in t la legge v di equivalenza temporale.

La funzione v(t,T,s) descrive quindi l’andamento del valore di un contratto (che garantisce la disponibilità di 1€ in s), in dipendenza del tempo di stipula (o di osservazione) t, del tempo di valutazione T e del tempo di scadenza s.

In particolari situazioni, la rappresentazione esplicita della dipendenza del valore dalle tre variabili temporali può essere sovrabbondante; se interessa studiare la funzione valore nel caso T = t (tempo di stipula, o di osservazione, t = tempo di valutazione T ), si può porre (se ciò non da origine ad equivoci):

v(t,T,s) = v(t,s) .

Inoltre, data la c.d. «proprietà di indipendenza dall’importo», la forma della funzione  v(t,T,s) non dipende dalle quantità trattate; facendo riferimento al caso T = t , si assume cioè che il valore in t di x_s unità di capitale, pagabili in s (s ≥ t), è dato da:

(a)    W(t, x_s = x_s v(t,s) ;

in questo senso si denota:

v(t,s) come fattore di sconto e

W(t, x_s) come valore attuale (valore scontato) di x_s, dato il fattore di sconto v(t,s).

Proprio in riferimento alla (a) la funzione v(t,s) può essere interpretata (come già accennato) come «legge di equivalenza» per quantità monetarie con diversa caratterizzazione temporale: regola lo scambio di importi x_s disponibili nell’istante futuro s con importi x_t disponibili nell’istante corrente t; il fattore di sconto ha quindi il significato di fattore (ragione) di «scambio»:

v(t,s) = x_t/x_{s .}

Alcune grandezze caratteristiche della matematica finanziaria

Le quantità caratteristiche della matematica finanziaria possono essere definite direttamente in riferimento all’evoluzione temporale di una generica funzione valore; senza specificarne la natura, si indichi tale funzione con f(t) – nel par. precedente la nostra funzione valore era rappresentata dalla funzione valore attuale (scontato) W(t,x_s) – per evidenziare l’istante di valutazione (t) come unica variabile indipendente (a parità di altre condizioni). Naturalmente si ipotizza f(t) non-negativa e non-decrescente.

L’incremento della funzione valore nel periodo tra t e t+∆t: ∆f(t) = f(t+∆t) – f(t)

è, per definizione, l’interesse (importo) prodotto nel periodo in oggetto.

Il tasso di rendimento (tasso effettivo di rendimento, o di interesse), relativo sempre al periodo fra t e t+∆t, è dato dal rapporto fra incremento di valore e valore calcolato nell’istante iniziale t: ∆f(t) / f(t) ,

mentre il corrispondente tasso di sconto è definito come rapporto tra il medesimo incremento e il valore nell’istante finale t+∆t: ∆f(t) / f(t+∆t) ;

L’intensità di interesse, ancora relativa allo stesso periodo, risulta dal rapporto fra il tasso di interesse e l’ampiezza ∆t dell’intervallo di tempo corrispondente:      ∆f(t) / [ ∆t f(t) ] ;

analogamente, per l’intensità di sconto risulta:

∆f(t)/[ ∆t f(t+∆t) ] .

Altra grandezza è rappresentata dall’intensità istantanea d’interesse, che indichiamo con δ(t,s) .

Il tasso istantaneo d’interesse dà una misura dell’interesse (ammontare) prodotto dal capitale unitario in un intervallo di tempo infinitesimo. In altre parole δ(t) è un fattore di proporzionalità che rappresenta il tasso in base al quale il capitale accumulato fino al tempo t sta, in quel momento, producendo interesse: ed è appunto detto «istantaneo» perché la sua validità è strettamente limitata al momento t. Ad esempio, δ(t)dt è l’interesse (ammontare) prodotto, nell’intervallo di tempo infinitesimo compreso tra gli istanti t e t +dt, da un capitale il cui ammontare all’istante t era 1 ( ) (Redington, come già detto, aveva caratterizzato l’immunizzazione finanziaria considerando una struttura dei rendimenti nota all’istante di valutazione t, rappresentata da un’intensità istantanea di interesse «costante» sull’intero periodo di attività dell’investitore, che potesse evolvere soltanto per una traslazione (shift) di ampiezza aleatoria).

Valore, tasso interno di rendimento e rendimento periodale (di un flusso di importi)

Un contratto finanziario garantisce lo scambio fra un importo (capitale) al tempo t ed un flusso x definito dal vettore degli importi non-negativi x_l, x₂, , x_m esigibili, rispettivamente, ai tempi t_l, t₂, , t_m    (t ≤ t_l ≤ t₂ ≤ ≤ t_m).

Se si suppone assegnata in t una legge di sconto v(t,s), s ≥ t, per ciascuna generica posta x_k esigibile al tempo t_k può essere calcolato il valore in t, risultando:

W(t, x_k) = x_k v(t, t_k) .

Valore (di un flusso di importi)

È formalmente giustificato definire il valore in t (present value) del flusso x con scadenze t = come somma dei valori in t delle singole poste componenti x, caratterizzando così la c.d. «proprietà di additività del valore attuale»; risulta quindi:

Tasso interno di rendimento (di un flusso di importi)

Se si esprime v(t,s) nella forma esponenziale (regime di sconto composto), si definisce tasso interno di rendimento (internal rate of return) del flusso x relativo al valore W(t,x) l’unico numero reale i* soluzione dell’equazione:

considerata nell’incognita i.

Nell’ipotesi che le poste del flusso x siano non-negative, il tasso interno di rendimento risulta sempre definito.

Rendimento periodale (di un flusso di importi)

Si consideri, al tempo t, un flusso finanziario x con scadenze t = , (t ≤ t_l ≤ t₂ ≤ ≤ t_m). In ogni istante H successivo a t (e che si può supporre, significativamente, non successivo a t_m) il reddito «totale» prodotto dal flusso x sarà composto dagli importi riscossi, dal reddito generato dal loro «reinvestimento» (fino ad H) e dal valore (in H) del flusso residuo (valore di «smobilizzo»).

Indichiamo il reddito totale prodotto da x nell’intervallo di tempo da t ad H con: R(H,x). Evidentemente, il reddito prodotto da x all’istante t coincide con il valore attuale di x; per un contratto (titolo) detenuto a scadenza, il reddito è la somma dei montanti delle singole poste di x (calcolati in t_m).

Dato il reddito totale prodotto da x nel periodo da t ad H, si definisce rendimento periodale (holding period return), sull’orizzonte di estremi t ed H, la variazione % di reddito:   

[ R(H,x) – W(t,x) ] /W(t,x) .