Il teorema di Redington

Il teorema di Redington

Le condizioni analitiche per la costruzione di un flusso di cassa a copertura di un singolo impegno, interpretate nell'ottica del teorema di immunizzazione di Fisher e Weil o, analogamente, come ricerca del tempo ottimo di smobilizzo, hanno un significato operativo autonomo e rilevante. Sulla base del TEOREMA l (e del TEOREMA 2) è possibile selezionare e gestire (in modo «dinamico») portafogli di investimento (in particolare portafogli titoli), con flusso di cassa deterministico, che abbiano reddito immunizzato sull'holding period, rispetto a shift additivi (eventualmente, multipli sull'orizzonte di attività) della struttura a termine dei rendimenti.

In riferimento alla definizione di immunizzazione finanziaria (come formulata da Redington) la copertura di una singola uscita appare la soluzione di un caso semplificato, rispetto al problema più generale della copertura di un flusso di impegni scadenzati nel tempo.

Risulta naturale quindi, sulla linea dimostrativa del TEOREMA 1, impostare la ricerca di condizioni analitiche che garantiscano la protezione del valore di due generici flussi di attivo e passivo, nella prospettiva di definire uno schema per la selezione e la gestione di un portafoglio complesso, composto da operazioni di investimento e di debito.

Premessa: nel caso di un flusso di impegni (uscite) scadenzati nel tempo, il vincolo di bilancio e la condizione di duration (le relazioni operative del TEOREMA l), applicate ai flussi x e y, non sono sufficienti a garantire l'immunizzazione da shift additivi della struttura dei rendimenti.

La caratterizzazione di condizioni analitiche che garantiscano, nell'ipotesi classica, l'immunizzazione di due generici flussi di attivo e passivo, può essere avviata riformulando l'originario teorema di Redington (a considerare una struttura dei rendimenti «non-costante») nella forma del TEOREMA 3.

TEOREMA 3

Sia:

(t,s) l'intensità istantanea di interesse corrispondente alla struttura a termine osservata al tempo t,

x e y due flussi ad elementi non negativi con scadenze

t_l, t₂, , t_m ( t < t_l ≤ t₂ ≤ . ≤ t_m) e valori uguali al tempo t : W(t,x) = W(t,y) .

Se la curva dei rendimenti subisce nell'istante t⁺, immediatamente successivo a t, uno shift additivo di ampiezza aleatoria infinitesima, allora il valore post-shift del flusso x sarà non-minore del valore post-shift di y

W(t⁺,x) ≥ W(t⁺,y)

se e solo se sono soddisfatte entrambe le seguenti condizioni:

la durata media finanziaria di x è uguale alla durata media finanziaria di y D(t,x) = D(t,y)

e il momento di second'ordine di x è non-minore del momento di second'ordine di y →     D⁽²⁾(t,x) ≥ D⁽²⁾(t,y) ,

quindi →    D⁽²⁾(t,x) - D⁽²⁾(t,y) ≥ 0

che va interpretata come condizione di non-negatività sul momento di second'ordine del flusso netto = dispersione (nel tempo) netta.

Sulla base del TEOREMA 3 la copertura del flusso y (flusso degli impegni) resta garantita soltanto nel caso di shift additivi infinitesimi della struttura dei rendimenti: perciò il teorema di Redington non può essere visto propriamente come generalizzazione (al caso di uscite multiple) del teorema di Fisher e Weil, che è valido anche per shift di ampiezza finita.

Comunque, un flusso immunizzato nel senso del TEOREMA 1 soddisfa l'immunizzazione nel senso di Redington: nel caso di «singola uscita» la condizione di duration e un caso particolare della D(t,x) = D(t,y) .

Infatti si ha D(t,y) = D(t,L) = H - t ,

e la condizione di second'ordine è rispettata per costruzione: indicando con M⁽²⁾(t,x) la dispersione (nel tempo) del flusso x e con M⁽²⁾(t,y) la dispersione (nel tempo) del flusso y si ha

M (t,x) ≥ 0   

e  

M (t,y) = M⁽²⁾(t,L) = 0 ,

quindi

M (t,x) - M⁽²⁾(t,y) ≥ 0 .