Natura ondulatoria della materia: interpretazione probabilistica

Natura ondulatoria della materia: interpretazione probabilistica

La descrizione ondulatoria della materia richiede un cambio radicale di prospettiva  nel modo di interpretare i fenomeni. Soprattutto quando si passa dal continuo al discreto e viceversa, si assiste spesso ad una perdita di significato di concetti ormai assimilati ed accettati. Un esempio servirà a chiarire ed a familiarizzare con il problema.

Nei fenomeni radioattivi la velocità di decadimento , cioè il numero di atomi che decadono per unità di tempo è direttamente proporzionale al numero iniziale N di atomi: v = lN.

l è detta costante di decadimento radioattivo e rappresenta la frazione di atomi che decadono nell'unità di tempo. Poniamo ad esempio l = 0,01 s^-1. Ciò significa che decadono l'1% di atomi al secondo. Se consideriamo un campione iniziale di 10.000 atomi, dopo 1 secondo ne sono decaduti 100; dopo 2 secondi altri 99 (l'1% dei rimanenti 10.000 - 100 = 9.900) e così via.

Consideriamo ora un campione costituito da un singolo atomo, N = 1 e chiediamoci che significato possiamo ora dare a l. Non possiamo certo affermare che in un secondo decadrà 1/100 di 1 atomo. Un atomo, o decade, o non decade. In tal caso l rappresenta dunque la  probabilità che un atomo decada nell'unità di tempo. Così l'atomo presenta 1 probabilità su 100 di decadere dopo un secondo, 2 probabilità su 100 di decadere dopo 2 secondi,...100 su 100 di decadere dopo 100 secondi. Si comprende così il motivo per cui la vita media di un atomo radioattivo è pari al reciproco della sua costante di decadimento.

In modo simile, nell'interpretazione di Born, l'onda associata ad una particella materiale deve essere interpretata in termini di probabilità di trovare la particella in un certo volume di spazio. Su tale interpretazione torneremo più avanti, dopo aver parlato dei fondamentali apporti alla meccanica quantistica forniti da Schrödinger ed Heisenberg.

L'introduzione della interpretazione ondulatoria della materia permise a De Broglie di portare ulteriore chiarezza all'interno del modello di Bohr-Sommerfeld. Alcuni fatti che inizialmente potevano apparire arbitrari e gratuiti ora acquistavano significato.

In particolare De Broglie dimostrò che la condizione di quantizzazione del momento angolare, introdotta in modo alquanto artificioso da Bohr, poteva essere derivata direttamente dalla natura ondulatoria dell'elettrone e ne diventava una sua naturale conseguenza.

Partendo dunque dalla condizione quantistica di Bohr  e tenendo presente che dalla relazione di De Broglie ( = h/mv) si ricava che , sostituendo opportunamente nella prima si ottiene

Ciò significa che le orbite quantizzate di Bohr devono soddisfare la condizione  di contenere un numero intero n di lunghezze d'onda di De Broglie.

E precisamente, visto che n è il numero quantico principale, la prima orbita deve contenere una lunghezza d'onda, la seconda orbita due lunghezze d'onda e così via.

Si formano in tal modo delle onde, dette onde stazionarie, tali che dopo un'orbita completa l'onda si trova esattamente in fase con se stessa. Le altre orbite non sono consentite poiché in qualsiasi altro caso ventri e cavi delle onde si sovrapporrebbero creando interferenza distruttiva. L'onda si estinguerebbe e con essa la probabilità di trovare l'elettrone.

È la stessa condizione che fissa la frequenza di vibrazione di un oscillatore vincolato, ad esempio una corda vibrante di lunghezza fissata.

Ad esempio una corda di chitarra di lunghezza L è vincolata, è cioè fissa in due punti (il ponte ed il capotasto) che ne condizionano la vibrazione. Ciò e dovuto semplicemente al fatto che i due punti vincolati non sono naturalmente in gradi di vibrare.

Tenendo ora presente che lungo la corda in vibrazione si distinguono punti in cui l'oscillazione è massima (ventri e creste) e punti in cui è nulla (nodi). La distanza tra i nodi è ovviamente pari a l

Ora, una corda vincolata non è in grado di produrre qualsiasi vibrazione, poiché due nodi sono fissi per definizione in quanto coincidono con i vincoli e gli altri nodi si possono disporre, equidistanti, in modo da dividere la corda in parti uguali.

Vengono in tal modo automaticamente a formarsi solo certe caratteristiche lunghezze d'onda.

In altre parole la corda può necessariamente contenere solo un numero intero di mezze lunghezze d'onda e quindi può produrre solo quelle vibrazioni per le quali vale la relazione

L = n (/2)    n = 1, 2, 3, 4..

dove L è la lunghezza della corda.

In un oscillatore vincolato si possono dunque formare solo onde stazionarie, aventi una determinata lunghezza d'onda

Possiamo affermare che data una certa lunghezza della corda di un particolare strumento essa possiede un caratteristico spettro discontinuo (a righe).

Quando la corda contiene mezza lunghezza d'onda la frequenza corrispondente è detta fondamentale, mentre le frequenze superiori sono dette armoniche.

Il timbro del suono, che identifica uno strumento permettendo di distinguere due note uguali emesse da strumenti diversi, è determinato dalla sovrapposizione della vibrazione fondamentale con un certo numero di armoniche, tipiche di quel dato strumento.  In altre parole il timbro è l'analogo in acustica dello spettro a righe di una sostanza in spettroscopia. La natura ondulatoria dell'elettrone, 'vincolato' dal nucleo che lo attrae, rende l'atomo molto simile ad uno strumento musicale.

Il modello quantistico di Bohr-Sommerfeld acquista con De Broglie caratteristiche ondulatorie che ne giustificano i postulati di base.