La probabilità quantistica ed il microscopio di Feynman

La probabilità quantistica ed il microscopio di Feynman

Al di là della naturale difficoltà ad accettare un mondo così poco familiare ed intuitivo come quello dei quanti, il comportamento delle particelle quantistiche presenta ulteriori stranezze.

Una di queste deriva dal fatto che la probabilità quantistica presenta un comportamento diverso rispetto alla probabilità ordinaria.

Infatti mentre in fisica classica le distribuzioni di probabilità di eventi indipendenti sono additive, in meccanica quantistica questo non avviene.

Se ad esempio vogliamo calcolare la probabilità che lanciando due dadi esca il numero 3, dobbiamo sommare tra loro la probabilità dei due eventi indipendenti^[1] E₁ (esce 2 sul primo dado, esce 1 sul secondo: P₁ = ) ed E₂ (esce 1 sul primo dado, esce 2 sul secondo: P₂ = ).

P_tot = P₁ + P₂

Se osserviamo ora due onde d'acqua sul mare che si accavallano possiamo notare che l'altezza complessiva dell'onda che si forma è data dalla somma delle altezze (ampiezze) delle singole onde. Se ad esempio in un certo punto dello spazio un'onda è al massimo ed una al minimo le due onde si annullano. Si tratta del principio di sovrapposizione che governa, come abbiamo già visto, tutti i fenomeni ondulatori, producendo i tipici processi di interferenza.

Anche le onde di probabilità della teoria quantistica, come le onde ordinarie, obbediscono al principio di sovrapposizione. Se cioè in una regione ci sono due onde di probabilità l'ampiezza totale risulta uguale alla somma delle ampiezze.

Ma la probabilità di trovare una particella in un certo punto non è data dall'altezza, che può essere anche negativa, ma dal quadrato della sua ampiezza (²).

Dunque, poiché le ampiezze si sommano in base al principio di sovrapposizione e poiché invece la probabilità è data dal quadrato dell'ampiezza, nella teoria dei quanti la probabilità totale non può essere calcolata sommando le probabilità parziali di eventi indipendenti.

Per esemplificare tale comportamento possiamo utilizzare un esperimento mentale proposto da Feynman nel 1960 e noto come microscopio di Feynman.

Immaginiamo di sparare dei proiettili verso uno schermo attraverso due finestre.

Inizialmente apriamo solo la prima finestra. Scopriamo che i proiettili si distribuiscono in modo caratteristico, che viene tipicamente descritto da una distribuzione di frequenza detta gaussiana (o "curva a campana" o anche "curva degli errori" perché descrive la distribuzione degli errori ed evidenzia come gli errori molto piccoli e molto grandi sono via via meno frequenti). Se i lanci effettuati sono sufficientemente numerosi la curva di frequenza diventa una buona misura della probabilità che possiede ciascun punto dello schermo di essere colpito.

Se effettuiamo lo stesso esperimento tenendo chiusa la prima finestra e aprendo la seconda, potremo osservare un'analoga distribuzione nei colpi.

Aprendo infine entrambe le finestre scopriremo che nei punti in cui le due curve di probabilità si sovrappongono, i proiettili arrivano con maggior frequenza. Si può facilmente verificare che ora la probabilità che ciascun punto dello schermo venga colpito è esattamente la somma delle due curve di probabilità singole. Le probabilità non quantistiche di eventi indipendenti si sommano. Per i proiettili vale dunque P_tot = P₁ + P₂

Eseguiamo ora l'esperimento facendo passare degli elettroni attraverso due fenditure sottili disposte parallelamente.

Quando è aperta solo la prima fessura gli elettroni producono sullo schermo una tipica figura di diffrazione che ritroviamo analoga nel caso venga aperta solo la seconda fenditura.

Gli elettroni colpiscono lo schermo più numerosi in una zona centrale per poi diradarsi alle estremità.

Ma nel caso le due fenditure vengano aperte contemporaneamente la curva di distribuzione totale degli elettroni non è data dalla somma delle due curve parziali. Sorprendentemente in alcuni punti in cui prima gli elettroni cadevano quando erano costretti a passare solo per una delle due fenditure, separatamente aperte, ora gli elettroni non cadono più. La curva che si ottiene è ancora una distribuzione di frequenza e quindi una misura della probabilità che gli elettroni hanno di colpire lo schermo, ma in tal caso essa non può essere ottenuta come semplice somma delle probabilità degli eventi separati ed indipendenti. Le probabilità quantistiche di eventi indipendenti non si sommano.

È necessario tener presente che gli elettroni arrivano sullo schermo rivelatore in modo discontinuo, venendo cioè captati attraverso singoli impulsi, come vere e proprie particelle. Nonostante ciò la loro distribuzione sullo schermo rivela il loro comportamento ondulatorio. In particolare la distribuzione di frequenza ottenuta con entrambe le fenditure aperte rivela chiaramente la presenza di fenomeni di interferenza, analoghi a quelli che si ottengono per la luce con un'esperienza di Young di doppia fenditura.

In effetti, secondo la teoria quantistica, non sono gli elettroni a comportarsi come onde, infatti colpiscono lo schermo come proiettili, ma è la probabilità di trovare l'elettrone che presenta un comportamento ondulatorio e viene diffratta dalle fenditure subendo quindi interferenza.

In tal caso la probabilità associata al passaggio dell'elettrone attraverso la fenditura 1 è pari a

P₁ = (Y

e la probabilità associata al passaggio dell'elettrone attraverso la fenditura 2 è pari a

P₂ = (Y

Quando entrambe le fenditure sono aperte le due onde  Y e Y interferiscono, producendo una funzione d'onda che chiameremo Y_tot

La probabilità totale sarà quindi pari al quadrato dell'onda prodotta dall'interferenza                  

P_tot = (Y_tot

Si dimostra quindi facilmente che nel caso degli elettroni, dove il comportamento ondulatorio non può essere trascurato, la probabilità che essi colpiscano lo schermo con due fenditure aperte non può essere ottenuta come semplice somma delle probabilità che essi colpiscano lo schermo con le fenditure alternativamente aperte. Il quadrato di una somma è infatti diverso dalla somma dei quadrati

(Y_tot = (Y Y Y Y

Tale risultato è tanto più sorprendente se si pensa che esso viene ottenuto anche facendo in modo che la sorgente di elettroni emetta un elettrone per volta.

Anche se si fanno passare, attraverso le due fenditure aperte, singoli elettroni a grandi intervalli di tempo l'uno dall'altro, essi andranno a cadere solo in corrispondenza dei massimi d'interferenza.

In altre parole il singolo elettrone 'non sa' dove sono caduti gli elettroni precedenti e si avvia a colpire lo schermo sulla base della probabilità totale (Y_tot)². La situazione è analoga a quella del gioco dei dadi: se nei primi 5 tiri abbiamo ottenuto sempre il numero 3, la probabilità che al sesto tiro esca ancora 3 è sempre la stessa (1/18). Essa non varia come non varia la probabilità di tutte le altre combinazioni numeriche. Potremmo verificare che il 3 esce 1 volta su 18 tiri solo lanciando molte volte i dadi.

Il fatto che anche un singolo elettrone, il quale chiaramente interagisce con lo schermo come una particella (il cui urto è osservabile come un minuscolo lampo luminoso), si comporti in realtà durante il tragitto come un'onda, la quale, per poter interferire deve passare contemporaneamente attraverso entrambe le fenditure aperte, ci induce a chiederci se l'elettrone in quanto particella passi effettivamente o per la fenditura 1 o per la fenditura 2, quando entrambe le fenditure sono aperte.

È possibile tentare di rispondere a questa domanda cercando di osservare il passaggio dei singoli elettroni attraverso le fenditure. Collochiamo allora un rivelatore alle fenditure che ci informi del passaggio del singolo elettrone. Ad esempio potremo osservare l'elettrone, illuminandolo con un fotone (microscopio di Feynman). Saremo così in grado di sapere da quale fenditura è passato l'elettrone.

Ma nel momento in cui verifichiamo il passaggio dell'elettrone-particella attraverso una delle due fenditure, l'elettrone cessa di comportarsi come un'onda ed inizia a colpire anche le zone dello schermo che prima non colpiva: le frange di interferenza scompaiono.

Quando dunque decidiamo di verificare se l'elettrone è una particella che passa realmente attraverso una delle due fenditure come un proiettile, esso si comporta effettivamente come una particella che attraversa la fenditura.

Prescindendo da un effettivo atto di osservazione non ha dunque senso parlare di esistenza oggettiva della particella in un dato punto dello spazio, ad esempio in corrispondenza di una delle due fenditure. È ciò che viene chiamata la realtà creata dall'osservatore.

Nel momento in cui lo osserviamo l'elettrone è una particella. Ma appena cessiamo di osservarlo si comporta come un'onda. Le diverse condizioni sperimentali alterano quindi in modo sensibile i risultati che noi possiamo ottenere.

Ecco quindi che, date le sostanziali differenze di preparazione degli esperimenti, la decisione tra un modello interpretativo e l'altro è compiuta all'atto stesso dell'osservazione. La "misurazione" diviene in un certo qual modo un nuovo ente che viene a far parte imprescindibilmente dello stesso fenomeno fisico sul quale si compie. Il particolare tipo di esperienza seleziona tra onda e corpuscolo.

La teoria quantistica afferma dunque l'impossibilità teorica di fare affermazioni relative alla natura oggettiva degli enti fisici studiati. Essa è una teoria che descrive il comportamento degli enti fisici date particolari condizioni sperimentali e non la loro essenza.

Anche se l'approccio quantistico può sembrare fortemente limitativo della nostra possibilità di conoscere il mondo, esso è in realtà comune a tutta la scienza.

Tutta la scienza si limita a descrivere il comportamento degli enti fisici e non formula affermazioni sulla loro essenza.

Quando ad esempio affermiamo che un filamento di oro è giallo, in realtà ciò non costituisce un'affermazione sull'essenza di questo elemento, ma descrive un suo comportamento in una particolare condizione sperimentale: quella di essere illuminato da luce bianca (o comunque radiazione contenente luce gialla). Se ad esempio esaminiamo il filamento con luce rossa esso appare nero, poiché assorbe tutta la radiazione che lo colpisce. Se poi il filamento viene reso incandescente esso appare rosso.

Se quello delle fenditure è un esperimento mentale, vi sono tuttavia numerosi dispositivi pratici di cui la tecnologia si serve comunemente e che sfruttano le singolari caratteristiche delle onde di probabilità.