Gli integrali definiti

GLI INTEGRALI DEFINITI

Prima di parlare di integrali definiti, dobbiamo dare la definizione di integrale indefinito. Per dare la definizione di quest'ultimo introduco il concetto di primitiva di una funzione. Data una funzione continua e derivabile in un intervallo [a;b], si dice che una funzione è una primitiva della funzione , se la derivata prima della funzione è uguale alla funzione iniziale. Se ad esempio abbiamo:

la funzione è una primitiva della funzione iniziale poiché la sua derivata è uguale alla funzione originale. Le primitive di una funzione si possono indicare e quindi sono infinite. La totalità delle primitive di 1 funzione si chiama integrale indefinito della funzione e si indica con

Per l'integrale sia indefinito, che definito valgono queste 2 proprietà:

L'integrale del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per l'integrale della funzione.

L'integrale della somma di più funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni.

Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell'integrale definito. Il problema del calcolo dell'area di 1 trapezoide, cioè una superficie piana delimitata da contorni curvilinei, ha portato al concetto di questo tipo di integrale.

Data una funzione continua e positiva in un intervallo chiuso [a;b], per calcolare l'area di un trapezoide si divide l'intervallo [a;b] in un certo numero di parti h tutti uguali e di ampiezza ; dopo si costruiscono dei rettangoli inscritti alla funzione per ogni segmento di base h e di altezza il valore minimo della funzione che assume in quell'intervallo, indicando quest'ultimo con m_i; si costruiscono successivamente dei rettangoli circoscritti alla funzione con base h e altezza il valore massimo che la funzione assume in quel'intervallo, indicando quest'ultimo con M_i.

Se noi consideriamo le aree dei rettangoli inscritti avremo che:

h·m_i = Area di 1 rettangolo

s_n = somma delle aree dei rettangoli inscritti

Se consideriamo invece le aree dei rettangoli circoscritti alla funzione, avremo che:

h·M_i = Area di 1 rettangolo

S_n = somma delle aree dei rettangoli circoscritti

Grafico:                             y

N

M_i

M

m_i h h h h h h h h x

a     x x x x x x x b

Comune alle 2 successioni s_n e S_n ci sarà S:

s_n < S < S_n

Ma sia s_n sia S_n sono delle successioni convergenti, avendo lo stesso limite, e convergono verso uno stesso numero cioè S.

Tale limite comune S rappresenta l'area del Trapezoide. Pertanto possiamo definir che:

Data una funzione continua in [a;b] , si chiama integrale definito esteso all'intervallo [a;b] il valore comune del limite per delle due successioni s_n e S_n. Questo valore viene indicato

Il numero a si chiama estremo inferiore, il numero b estremo superiore, mentre la funzione si chiama funzione integranda.

Il simbolo che indica l'integrale ( rappresenta una S allungata per ricordare che. nella rappresentazione grafica, ad un integrale corrisponde una somma di aree.

Quindi mentre l'integrale definito è un numero, quello indefinito p una somma di primitive.

Per l'integrale definito valgono alcune proprietà, oltre le 2 già dell'integrale indefinito:

se b > a ; se a > b

quindi

se a = b

[a;b]

se c'e un punto

allora vale la proprietà di additività e quindi: 

, che rappresenta l'area di 1 rettangolo

E' possibile enunciare il teorema fondamentale dell'integrale definito, il teorema di Torricelli:

Se una funzione è continua in , la corrispondente funzione integrale è derivabile per tutte le di (è una funzione perché dipende dall'estremo superiore che varia nell'intervallo), cioè:

si dimostra che:   

Questa la dimostrazione:

Data una funzione continua in esiste

y

x

a x x+h b

Se noi incrementiamo la x con x + h, avremo che

Se adesso ci calcoliamo l'incremento della nostra funzione integrale avremo:

Per la proprietà di additività possiamo anche scrivere

Se applichiamo il teorema della media:

e quindi

e se b - a costituisce l'ampiezza dell'intervallo di integrazione, avremo che

quindi

allora possiamo scrivere che:

Se dividiamo entrambi i membri per h, otteniamo che

dove il primo membro rappresenta il rapporto incrementale della funzione integrale.

Se poniamo il limite per h che tende a 0 di entrambi membri, avremo:

Il primo membro non rappresenta altro che la derivata della funzione integrale (, mentre il secondo limite per di , al tendere a 0 di h, il punto c che è interno all'intervallo , tenderà a

Quindi si verifica l'enunciato del teorema:

Da questo teorema fondamentale del calcolo integrale è possibile dedurre la formula fondamentale del calcolo integrale, in base alla quale l'integrale definito è uguale alla differenza dei valori che una qualsiasi primitiva G(x) della funzione integranda f(x) assume all'estremo superiore e inferiore nell'intervallo [a;b].

Si può benissimo dimostrare anche questa formula chiamata di Newton - Leibniz.

Dato che e

possiamo dire che

dove per si indica una generica primitiva della funzione

se poniamo

quindi

Sostituendo nell'equazione di prima, abbiamo che

se poi poniamo e sostituiamo, abbiamo la formula finale: