La densità di materia-energia e la pressione

La densità di materia-energia e la pressione

L'ultimo elemento fondamentale che distingue la trattazione newtoniana da quella relativistica consiste nel fatto che nei modelli relativistici anche la radiazione e la pressione sono fonte di gravitazione. La relazione einsteniana di equivalenza massa-energia (E = mc ) ci permette infatti di calcolare una massa-equivalente di energia

Così dividendo sia la densità di energia che la pressione per c , si ottengono i contributi di ciascuna di esse alla densità di materia (si osservi che densità di energia e pressione sono grandezze omogenee erg/cm = dyn/cm

Nelle equazioni relativistiche va dunque intesa come una densità totale, ottenuta come somma della densità di materia, della densità di massa equivalente all'energia di radiazione e della densità di massa equivalente all'energia di pressione .

In genere il contributo della pressione alla densità totale è trascurabile e in tutti i modelli si pone p = 0. Più interessanti sono invece risultati alcuni modelli con p < 0 (inflation) di cui parleremo in seguito.

Più importante per la dinamica dei primi istanti di espansione in tutti e tre i modelli risulta invece la distinzione tra densità di materia e densità di massa equivalente alla radiazione. Infatti la densità di materia e la densità di massa equivalente all'energia non diminuiscono allo stesso modo durante l'espansione.

Già sappiamo che la densità di materia è inversamente proporzionale ad R

 

La densità di massa-equivalente all'energia decresce invece più rapidamente all'aumentare di R durante l'espansione. Infatti i fotoni subiscono una doppia diluizione con l'espansione.

In primo luogo il loro numero diminuisce, come quello di ogni altra particella, in modo proporzionale all'aumentare del volume. Se il volume raddoppia il numero di fotoni per unità di volume si dimezza e così via. Da questo punto di vista il numero di fotoni per unità di volume è inversamente proporzionale al cubo di R, come avviene per la densità di particelle materiali.

In secondo luogo l'energia di ciascun fotone risulta diminuire in modo proporzionale all'aumento di R. Infatti se immaginiamo che l'universo aumenti le sue dimensioni anche le onde elettromagnetiche in esso contenute subiranno uno stiramento di egual proporzione. Se R raddoppia anche la lunghezza d'onda di tutti i fotoni raddoppia.  Essendo l'energia di ciascun fotone inversamente proporzionale alla sua lunghezza d'onda

 

se ne deduce che l'energia di ciascun fotone risulta essere inversamente proporzionale ad R.

Se combiniamo i due effetti è facile verificare che la densità di energia deve essere inversamente proporzionale alla quarta potenza di R

La densità dell'energia di radiazione può essere calcolata utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann, che afferma che la densità di energia emessa su tutte le frequenza da un corpo alla temperatura T è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta, secondo la relazione

Essendo la temperatura attuale dell'universo T_o = 2,728°K, la relazione fornisce una densità di energia di radiazione di circa 4,2 10 erg/cm . Convertiamo tale valore in densità di massa-equivalente all'energia

21)

Se confrontiamo tale densità con la densità critica di materia _c (nell'ipotesi che l'universo sia euclideo) che è pari a 1,88 10 h g/cm è facile verificare che attualmente l'effetto gravitazionale è prodotto essenzialmente dalla materia e non dalla radiazione, la cui densità è circa 10.000  volte inferiore.

Ma se risaliamo nel tempo verso l'istante zero (inizio dell'espansione) troviamo che la densità di radiazione aumenta più rapidamente della densità di materia e vi sarà perciò un tempo (molto vicino all'inizio dell'espansione, 10 s 3000 anni circa) in cui la densità di radiazione sarà stata maggiore della densità di materia.

Si usa pertanto suddividere la storia dell'espansione in due grandi fasi: era della radiazione (0 - 10 s) ed era della materia. s)

Si dimostra che durante la prima fase espansiva, quando la densità di radiazione era prevalente, l'universo ha dovuto subire un effetto frenante superiore a quello subito successivamente durante l'era della materia.