La costante cosmologica e i modelli di de sitter e di lemaitre

La costante cosmologica e i modelli di de Sitter e di LemaItre

La cosmologia relativistica einsteniana fu costruita prima che Hubble scoprisse l'espansione dell'universo. L'idea dominante ed in qualche modo 'naturale' fino agli anni '20 era che l'universo fosse statico. Abbiamo già detto che tale pregiudizio aveva convinto lo stesso Einstein a modificare le equazione della relatività generale applicate all'universo con l'introduzione di un termine arbitrario con effetti repulsivi, noto come costante cosmologica L (lambda). Infatti in presenza solamente di un'interazione di tipo attrattivo (gravità) e senza un moto di espansione (energia cinetica) l'universo è evidentemente destinato al collasso. Per 'salvare' l'universo statico, dunque, Einstein introdusse una forza repulsiva in grado di neutralizzare la gravità e mantenere l'universo in equilibrio statico.

Con il termine repulsivo introdotto da Einstein la relazione 3) che fornisce l'energia potenziale diventa

Il termine repulsivo corrisponde ad una forza repulsiva che non dipende dalla massa M dell'universo ed è direttamente proporzionale alla distanza R

Affinché l'universo sia in equilibrio statico in assenza di espansione (E_c = 0) è necessario che l'energia potenziale sia nulla, E_p = 0. Si calcola allora facilmente il valore che deve possedere la costante cosmologica (dopo avere espresso la massa M in funzione della densità) affinché si verifichi tale condizione

Se nella 50) sostituiamo a  r il valore della densità critica si ottiene

che, accettando H_o = 55 km/(s Mpc), da un valore di L pari a 3,5 10 cm

Quando Einstein venne a conoscenza dei dati di Hubble sull'espansione dell'universo ritenne che la costante cosmologica non avesse più ragione di esistere. L'universo non aveva più bisogno  di qualcosa che lo mantenesse in equilibrio statico poiché era in realtà in equilibrio dinamico.

Prima di essere ripudiata dallo stesso Einstein la costante cosmologica fu utilizzata nella costruzione di un paio di modelli di universo che presentano un particolare interesse storico.

Nel 1917 l'olandese W. de Sitter studia il comportamento di un universo vuoto di materia in presenza della costante cosmologica. L'equazione 12) che descrive il comportamento dinamico dell'universo diventa

Prevedendo tale universo M = 0 sarà anche r = 0. Studiando per semplicità il caso in cui k = 0, la 37) diventa

dopo aver estratto la radice quadrata ed aver espresso v come dR/dt otteniamo

ricordando che l'integrale di 1/R è ln R, possiamo integrare la relazione per ottenere la legge oraria del moto di espansione.

ovvero

con

Senza nessuna forza attrattiva ed in presenza di una forza repulsiva l'universo subisce un'espansione esponenziale. Non esiste in questo modello un istante zero in cui R = 0. L'universo risulta in espansione da sempre.

Il modello di de Sitter risulta di particolare interesse storico per due motivi.

In primo luogo, non presentando un istante di inizio dell'espansione, tale modello rappresentò il naturale riferimento matematico per la successiva teoria di universo stazionario (Steady state) che fino all'inizio degli anni '60 fece concorrenza alla teoria del Big Bang.

In secondo luogo possiamo individuare nel modello di de Sitter il precursore dell'inflation, teoria che oggi sta avendo un notevole successo nell'ipotizzare un periodo di espansione esponenziale che avrebbe caratterizzato i primissimi istanti di vita dell'universo.

Il modello di de Sitter non va confuso con il modello di Einstein - De Sitter, termine spesso utilizzato per indicare la cosmologia FRW con k = 0.

Nel modello del belga G. Lemaitre (1927), alla costante cosmologica viene assegnato un valore superiore a quello ammesso da Einstein, in modo tale che l'universo risulta essere in espansione a partire da una condizione iniziale con  R = 0. Dapprima l'espansione è lenta, poi, raggiunte le dimensioni caratteristiche dell'universo statico di Einstein, l'universo si espande rapidamente.

Il modello di Lemaitre va ricordato essenzialmente perché l'autore lo accompagnò con alcune ipotesi sullo stato dell'universo al tempo t = 0. Secondo Lemaitre l'universo nasce da un atomo primigenio superdenso, dalla cui disintegrazione si sarebbero dovuti formare tutti gli elementi chimici ed una radiazione termica di fondo. Nonostante tale ipotesi sia stata formulata in modo puramente qualitativo essa viene spesso ricordata in quanto precorre la teoria cosmologica del Big Bang. I modelli di Fridman sono noti anche come modelli di Fridman-Lemaitre.