Il moto dei pianeti intorno al Sole e la nascita della scienza del Caos

Il moto dei pianeti intorno al Sole e la nascita della scienza del Caos

Determinismo

Il primo a riconoscere chiaramente che i pianeti ruotano intorno al Sole fu Copernico, che -con il suo sistema eliocentrico- rivoluzionò la concezione di Tolomeo, che poneva la Terra al centro dell'Universo. Secondo Copernico, però, i pianeti seguivano orbite circolari: fu Keplero a stabilire che i pianeti percorrono orbite a forma di ellisse, di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Pertanto il movimento dei pianeti attorno al Sole è regolato dalle tre leggi di Keplero:

La prima legge afferma che: I pianeti descrivono orbite ellittiche, quasi complanari, aventi tutte un fuoco comune in cui si trova il Sole. Il senso della rivoluzione intorno al Sole è in genere antiorario per un osservatore che si trovi al Polo nord celeste.

La seconda legge di Keplero afferma che: Il raggio che unisce il centro del Sole al centro di un pianeta descrive superfici con aree uguali in intervalli di tempo uguali. Da ciò deriva che un pianeta si muove più velocemente quando è più vicino al Sole (al perielio) e più lentamente quando è più lontano (all'afelio).

La terza legge afferma che: I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal Sole. Vale a dire che la velocità media di un pianeta è tanto minore quanto più esso è lontano dal Sole.

Nel 1687 Isaac Newton pubblicò uno scritto monumentale, i Philosophiae naturalis principia matematica, nel quale veniva elaborato il modello matematico e il concetto fisico che determinava il moto dei pianeti intorno al Sole. Già Keplero, rilevando l'orbita ellittica dei pianeti, aveva sollevato il problema di una misteriosa forza proveniente dal Sole, che diminuisce con la distanza e obbliga tali corpi celesti ad abbandonare il loro moto rettilineo. Newton avanzò l'ipotesi che tale forza potesse essere la stessa che provoca sulla terra la caduta dei corpi e ne descrisse gli effetti attraverso la legge della gravitazione universale, in base alla quale due corpi si attirano in modo direttamente proporzionale alla loro massa e in ragione inversa al quadrato della loro distanza. La forza d'attrazione gravitazionale può essere espressa con la seguente formula:

dove G₀ è la costante di gravitazione universale (pari a 6,67 10^-7 N m² kg ^-2), M ed m sono le masse dei corpi e d è la distanza fra i loro centri. A causa della forza di gravità, quindi, ogni corpo celeste viene attratto dalle masse circostanti e a sua volta le attrae. Un pianeta subisce perciò una forte attrazione da parte del Sole, mentre è debolmente attratto dagli altri pianeti e dalle stelle circostanti. Tali azioni impediscono al pianeta di muoversi con velocità costante e in linea retta, costringendolo a una continua caduta verso il sole, in un gioco di equilibrio il cui risultato è l'orbita ellittica. Venivano così spiegate le leggi di Keplero, il moto dei pianeti, la precessione degli equinozi, le irregolarità del moto lunare, le maree ecc. Tuttavia la legge di gravitazione universale di Newton era in grado di descrivere l'orbita di un pianeta intorno al Sole, ma non di giustificare la stabilità dinamica complessiva di tutto il sistema solare. Nei Principia Newton affrontava, infatti, il problema dell'applicazione della legge di gravitazione universale a più di due corpi: solo pensando a un universo costituito esclusivamente dal Sole e dal nostro pianeta avremo delle orbite ellittiche come Keplero aveva proposto. In un sistema solare reale le orbite non si chiudevano, rimanevano aperte, discostandosi dalle leggi di Keplero. Come spiegare dunque la stabilità del sistema solare?

Un secolo dopo, con l'opera di Pierre-Simon de Laplace, Recherches sur le principe de la gravitation universelle, sembrò che la scienza avesse raggiunto la capacità di giustificare con la matematica le posizioni dei pianeti. L'opera, pubblicata nel 1773, lasciò un'enorme impronta nel pensiero occidentale, in quanto introduceva il calcolo delle perturbazioni: un metodo matematico che permetteva di prevedere con grande precisione le orbite planetarie perturbate dalle reciproche interazioni gravitazionali. Il problema appariva essere solo di complessità di calcolo. Con una sola legge, quella di gravitazione, si potevano dunque prevedere, almeno in linea teorica, gli eventi dell'universo con una precisione illimitata. Laplace scrive: "Un'intelligenza che, per un istante dato, potesse conoscere tutte le forze da cui la natura è animata, e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono e che inoltre fosse abbastanza grande da sottomettere questi dati all'analisi. nulla le risulterebbe incerto, l'avvenire come il passato sarebbe presente ai suoi occhi". Con questa frase si è inteso far nascere l'emblema del determinismo nel pensiero scientifico moderno. Anche se Laplace specificò che quell'intelligenza doveva ritenersi al di là della portata umana, a partire dalla fine del XVIII secolo nella cultura occidentale si affermò sempre più l'idea che tutto l'universo potesse essere descritto come un'immensa macchina.

I grandi successi dell'astronomia, dalle previsioni del ritorno della cometa di Halley, alla scoperta del pianeta Nettuno sembravano dunque confermare la veridicità di questo assunto. Persino nei giorni nostri appare sinonimo di scienza la capacità di prevedere i processi della natura. In realtà da un paio di decenni è iniziata una rivoluzione del pensiero scientifico, era il 1978 quando fu creato un nuovo termine nella fisica moderna: caos.

La cometa di Lexell

Se il mondo occidentale ha ricevuto quel testo che per primo fornì il nuovo sistema del mondo costruito con tutta la forza e la completezza della dimostrazione matematica, ovvero i Principia, lo si deve presumibilmente all'astronomo inglese Edmond Halley. Fu lo scopritore dell'omonima cometa a recarsi a Cambridge per domandare a Newton se fosse possibile spiegare le tre leggi Keplero con una forza diretta verso il Sole, inversamente proporzionale al quadrato della distanza. La risposta di Newton fu immediata: certo le cose stavano così, lo aveva in effetti dimostrato già da qualche tempo. Qualche mese dopo la dimostrazione arrivò a Halley, il quale poi spronò Newton a sviluppare maggiormente la questione, tanto da finanziare i Principia. Fu proprio con il ritorno della cometa di Halley, dopo un cammino di più di settanta anni, così come nelle previsioni dell'astronomo amico di Newton, che fu dimostrata la grande efficacia della nuova legge che regolava i cieli.

Ma fu proprio una cometa, apparsa pochi anni dopo il ritorno di quella di Halley, a suggerire che le cose forse non erano proprio così semplici. Il 4 giugno 1770 fu scoperta una cometa all'Osservatorio di Cluny. Dopo averne calcolata l'orbita, la meccanica newtoniana e le orbite di Keplero dimostrarono che l'astro chiomato sarebbe ritornato dopo cinque anni, ma così non avvenne: la cometa, infatti, non fu vista mai più. Fu l'astronomo francese Lexell a riuscire a svelare negli anni successivi che cosa fosse successo. Ne aveva studiato accuratamente il moto dimostrando che la cometa, detta poi di Lexell, prima del 1767 seguiva una lunga orbita al di là di quella di Marte, invisibile persino con i più potenti telescopi. In quell'anno un passaggio ravvicinato a Giove aveva modificato la sua orbita spostandola verso il Sole. Si era così originata una nuova orbita ellittica, con periodo di cinque anni e mezzo, capace di portare la cometa vicino al nostro pianeta e permettendone così la scoperta tre anni dopo. Ancora pochi anni però e un ulteriore passaggio ravvicinato a Giove aveva modificato ulteriormente l'orbita dell'astro, sbalzandolo al di là di Plutone. Lexell aveva scoperto un tipico esempio di dinamica caotica, ovvero di grande sensibilità di un sistema dinamico alle condizioni iniziali. Tuttavia tutto fu dimenticato, poiché nessuno avrebbe voluto fare a meno della potenza predittiva della meccanica newtoniana, che aveva trovato numerose conferme.

Non bastò dunque l'evidenza osservativa e, cento anni ancora dopo, nemmeno la mente di uno dei più grandi matematici mai esistiti sembrò riuscire a scalfire l'idea della scienza verso un mondo semplice e prevedibile. La storia racconta che il re di Svezia Oscar II indisse verso la fine dell'Ottocento un premio per chi avesse trovato la soluzione del problema dei tre corpi. Il matematico italiano Giuseppe Luigi Lagrange aveva già dimostrato nel 1772 che tre corpi di massa arbitraria, liberamente orbitanti tra loro, si possono muovere mantenendo inalterata la loro posizione, se sono posti ai vertici di un triangolo equilatero. Il premio fu aggiudicato a Henri Poincaré, la cui soluzione consisteva nel dimostrare che la soluzione generale non esisteva. Fino allora, nell'impossibilità di avere a disposizione la soluzione esatta delle equazioni descriventi il moto dei pianeti, in accordo con la legge di Newton, il problema era stato risolto ricorrendo a metodi approssimati di calcolo, del tutto sufficienti per le previsioni astronomiche a distanza di decenni o secoli, come Laplace aveva insegnato. Negli anni successivi Poincaré andò ancora oltre nei suoi studi, fino a giungere all'affermazione che i modelli dinamici sono molto meno prevedibili nel loro moto di quanto si fosse pensato fino allora. Essi risentono, infatti, di un'estrema sensibilità alle condizioni iniziali. Cambiamo di pochissimo le posizioni dei corpi tra loro orbitanti ed ecco che con il passare del tempo le posizioni risultanti saranno molto diverse. Un minimo errore di misurazione delle posizioni iniziali, quasi inevitabile, e il sistema si troverà in condizioni finali molto diverse da quello che avevamo dedotto con i nostri calcoli. Nel 1912 Poincaré moriva lasciando alle stampe la sua ultima memoria sul problema dei tre corpi: la complessità del problema rimaneva con le sue difficoltà insormontabili. Nonostante Lexell e nonostante Poincaré, la visione di un semplice e prevedibile mondo deterministico rimaneva incontrastata nel pensiero scientifico.

Nasce la scienza del caos

Negli ultimi decenni, però, la visione del mondo sta totalmente cambiando. Quel mondo deterministico, dove il principio lineare che lega causa ed effetto ci permetteva di determinare con illimitata precisione il futuro o il passato di un fenomeno fisico, risulta oggi per molti solamente "il risultato di una fisica idealizzata che si poggiava su una matematica idealizzata" e che ha "sapientemente occultato le mille irregolarità e imprevedibilità dei sistemi reali" (G. Zanarini "Finestre sulla complessità", Ed. Scienza, laboratorio dell'immaginario scientifico, 1994). È sempre forzato voler trovare un momento preciso in cui una rivoluzione scientifica avviene. Porremo comunque come inizio della rivoluzione per la nuova fisica del caos, un giorno di dicembre dell'anno 1961 e come luogo, i laboratori ove operava Edward Lorenz, presso il Massachusetts Institute of Technology. Lorenz era a quel tempo un matematico che lavorava nel campo della meteorologia, campo assai fruttuoso al tempo: erano, infatti, gli anni in cui il calcolatore elettronico e i satelliti artificiali sembravano promettere la fine di ogni incertezza nelle previsioni del tempo. Tuttavia Lorenz non la pensava così. Racconta che in quei giorni stava elaborando una serie di equazioni con il suo calcolatore. Era un modello matematico di dinamica dei fluidi, adatto a simulare la dinamica del sistema atmosferico. Quel giorno si accorse che dall'output del sistema stavano uscendo dei dati molto strani. Aveva immesso dei dati intermedi, ottenuti in precedenza dalle stesse equazioni con cui stava lavorando da giorni, ma i risultati che stava ottenendo erano molto diversi da quelli ottenuti nei giorni precedenti. Più i calcoli andavano avanti e più i risultati differivano. Era la riscoperta dell'estrema sensibilità alle condizioni iniziali dei sistemi dinamici. Lorenz arrivò dove Poincaré non era riuscito a giungere: riportando le soluzioni del sistema ridotto a tre equazioni in uno spazio tridimensionale poté vedere che i punti generati dal sistema di equazioni non si disperdevano a caso ma in una regione delimitata di spazio. Aveva ottenuto un sistema dove non era possibile la previsione esatta, ma che conteneva al tempo stesso dell'ordine. Il suo lavoro apparve nel 1963 sulla rivista di meteorologia "Journal of the Atmospheric Sciences" con il titolo Deterministic nonperiodic flow. Estrema sensibilità alle condizioni iniziali e conseguente incapacità di previsione del sistema dinamico, generazione di stati del tutto casuali: il sistema dinamico si evolveva manifestando una forma, una coerenza. Erano tutte le basi per la nuova fisica, quella dei sistemi dinamici caotici, ma tutto fu ancora una volta ignorato.

Bisogna arrivare alla seconda metà degli anni '70 per trovare un giovane fisico, M.J. Feigenbaum, che, facendo prima dei conti su svariate equazioni matematiche mediante una piccola calcolatrice e poi con un computer dell'esercito, innescò finalmente il manifestarsi di questa rivoluzione. Feigenbaum stava conseguendo degli strani risultati. Egli si accorse che, sostituendo i dati ottenuti dalle equazioni nelle equazioni stesse, otteneva sempre lo stesso andamento, indipendentemente dalle equazioni utilizzate. I valori rimanevano fissi su un dato numero, poi si sdoppiavano, ciascun livello tornava a sdoppiarsi per poi giungere a variare in modo completamente caotico. Dentro le aree caotiche esistevano però degli intervalli in cui riappariva l'andamento costante che ancora tornava a sdoppiarsi ripetutamente, originando un sistema auto-somigliante che mescolava caos e ordine un numero indefinito di volte. Erano nati i diagrammi di Feigenbaum. Il giovane fisico cominciò a presentare in vari congressi i suoi risultati. Dopo qualche anno altri studiosi incominciarono ad accettare i suoi risultati. Nel 1983 apparve su "Physica" l'articolo di Feigenbaum: "Universal behaviour in nonlinear systems".

Da qualche anno era nata la scienza del caos, dove per caos non si intende un completo disordine, ma piuttosto un caos deterministico con le sue leggi ben definite anche se ancora abbastanza oscure. Oggi sappiamo che il moto dei pianeti intorno al sole è di tipo caotico. Tuttavia sappiamo anche che la Terra negli ultimi quattro miliardi di anni non può essersi mai allontanata o avvicinata troppo dal Sole, altrimenti la vita sulla Terra sarebbe scomparsa. Evidentemente il pianeta Terra deve orbitare in una regione di caos confinato, cosicché le probabilità di allontanarsi molto da una posizione media intorno al sole risulti tendente a zero. Tuttavia non siamo ancora in grado di descrivere il moto del nostro pianeta intorno al Sole, possiamo solo dire che per tempi brevi il nostro pianeta descrive un'approssimata orbita kepleriana. Possiamo dunque affermare che con la fisica del caos è nata una visione meno semplicistica del mondo.