Giorno solare ed Equazione del Tempo E

Giorno solare ed Equazione del Tempo E

Le velocità angolari seguono delle regole di composizione identiche a quelle utilizzate per comporre le velocità lineari.

Se w_rot e w_riv sono rispettivamente la velocità di rotazione e di rivoluzione della terra rispetto alle stelle fisse, allora la velocità di rotazione della terra rispetto al sole può ottenersi componendo i due movimenti e sarà pari a (w_rot w_riv). Essendo entrambi i moti diretti (antiorari) il loro segno sarà concorde.

da cui si ricava che il giorno solare dura

86400 - 86164,0989 = 235,9011 s ~ 3^m 55,9^s più del giorno sidereo

In realtà il giorno solare non ha sempre la stessa durata costante di 24 ore. Essa varia infatti con periodicità nel corso dell'anno a causa dell'eccentricità e dell'inclinazione (o obliquità) dell'orbita terrestre. Il valore di 24 ore che noi utilizziamo rappresenta il giorno solare medio, media dei 365 giorni solari.

Effetto dell'eccentricità

Per la seconda legge di Keplero in perielio la Terra si muove più velocemente intorno al sole e quindi in 24 ore si sposta rispetto ad esso di un tratto leggermente superiore di 1°. La velocità di rotazione terrestre è invece costante e per compiere un po' più di 1° di rotazione al fine di riavere il sole in culminazione impiegherà un po' più di 4 minuti. Il giorno solare in perielio è un po' più lungo di 24 ore. Per ragioni opposte il giorno solare in afelio raggiunge la sua durata minima, inferiore alle 24 ore.

La velocità di rivoluzione della Terra alla distanza R dal Sole può essere calcolata con la seguente relazione

dove

G = costante di gravitazione universale = 6,67428 10^-11

a = semiasse maggiore (J2000) =  1.0000001124 UA = 149.597.887.506 m

e = eccentricità orbitale (J2000) = 0.01671022

M_T= Massa della Terra = 5,9736 10²⁴ kg

M_S = Massa del Sole = 1,9891 10³⁰ kg

La velocità massima si ha in perielio, in corrispondenza del raggio minimo R_min = a(1-e)

La velocità minima si ha in afelio, in corrispondenza del raggio massimo R_max = a(1+e)

Le rispettive velocità angolari ω (in rad/s) si ottengono dividendo le velocità lineari per il Raggio corrispondente

Calcoliamo la durata del giorno solare vero in perielio componendo la velocità di rotazione della terra rispetto alle stelle fisse con la sua velocità massima di rivoluzione.

da cui

Dunque, per effetto della diversa velocità orbitale della Terra, il giorno solare vero in perielio dura 86408,1160 - 86164,0989 = 244,0171 s = 4 min 4,0 sec più del giorno sidereo e 86408,1160 - 86400 = 8,1160 s più del giorno solare medio

Calcoliamo la durata del giorno solare vero in afelio

da cui

Dunque, per effetto della diversa velocità orbitale della Terra, il giorno solare vero in afelio dura 86392,2957 - 86164,0989 = 228,1968 s = 3 min 48,2 sec più del giorno sidereo e 86400 - 86392,2957 = 7,7043 s meno del giorno solare medio

La durata del giorno solare varia dunque, per effetto della diversa velocità orbitale della Terra, di 244,0171 - 228,1968 = 15,8203 secondi nel corso dell'anno, valore che rappresenta la massima escursione nella durata del giorno solare causata dall'eccentricità dell'orbita terrestre.

Per rappresentare tale variazione durante tutto l'anno, assumiamo che l'andamento sia sinusoidale (in verità non lo è, ma l'eccentricità dell'orbita terrestre è molto piccola e dunque l'approssimazione è ottima). Inoltre sappiamo che, rispetto al valore medio, avremo la durata massima al perielio (intorno al 3 gennaio), mentre quella minima all'afelio (intorno al 4 luglio). L'ampiezza del coseno è ovviamente la metà dell'escursione totale precedentemente calcolata (15,82/2 = 7,91s). Il ciclo è di un anno tropico (365,2422 giorni solari medi)

dove d è il numero di giorni dall'inizio dell'anno

d = 1 (1 gennaio)

d = 2 (2 gennaio)

d = 365 (31 dicembre)

Gli scarti però si accumulano nel corso dei giorni, e dunque per sapere quanto tempo ritarda o anticipa il Sole vero rispetto al Sole medio in un certo giorno, occorre tenere conto di tutti gli scarti precedenti. Matematicamente questa operazione si realizza integrando la funzione precedentemente trovata.

L'integrale del coseno è il seno, la periodicità e la fase rimangono le stesse. Per calcolare la massima variazione accumulata basta sommare tutti i contributi che appartengono alla stessa semionda positiva (o negativa).
Se dunque indichiamo con A la durata dell'anno (365,2422 giorni) si avrà

Possiamo ora scrivere l'espressione dell'equazione del tempo dovuta all'eccentricità dell'orbita terrestre. L'ampiezza del seno è ovviamente la metà dell'escursione totale precedentemente calcolata (15,327^m/2=7,66^m)

Effetto dell'inclinazione (obliquità) dell'orbita

Come abbiamo già detto, dopo un giorno sidereo la Terra si è spostata di circa un grado lungo la sua orbita intorno al Sole e dunque dovrà coprire quest'angolo con un ulteriore rotazione. Possiamo descrivere lo stesso fenomeno pensando che la Terra sia ferma e che il Sole si muova lungo l'eclittica.

L'asse di rotazione della Terra è inclinato sul piano dell'eclittica e così anche l'orbita apparente del sole. Il piano dell'eclittica è inclinato rispetto all'equatore celeste di ε = 23,44°. La proiezione della posizione del Sole sull'equatore celeste introduce un'altra variazione periodica sulla durata effettiva del giorno solare.

Quando il Sole attraversa l'equatore in corrispondenza dei punti equinoziali la sua proiezione sull'equatore si muove più lentamente di quanto non faccia il Sole medio ed il giorno solare vero risulta più breve del giorno solare medio. Quando invece si trova in corrispondenza dei punti solstiziali, il Sole si muove parallelamente all'equatore, la sua proiezione sull'equatore si muove più rapidamente di quanto non faccia il Sole medio ed il giorno solare vero risulta più lungo del giorno solare medio.

Per rendercene conto immaginiamo che il Sole si trovi nel punto gamma (equinozio di primavera) e che sia in culminazione (mezzogiorno) sul meridiano A. Dopo un giorno sidereo la Terra ha compiuto una rotazione di 360° rispetto alle stelle fisse, ma il meridiano A non ritrova il Sole in culminazione, perché il Sole si è spostato lungo l'eclittica di circa 1°. Poiché tuttavia l'eclittica è inclinata di 23,44° rispetto all'equatore, il sole non si è spostato di 1° in longitudine, ma di 1° cos(23,44°)= 0,9175°. Sarà quindi sufficiente che la Terra ruoti di 0,9175° per ritrovare il Sole in culminazione, impiegandoci dunque non 235,90 s, ma 235,90 x cos(23,44°) = 216,43 s.

Il valore 235,90 s (differenza tra il giorno solare medio ed il giorno sidereo) rappresenta dunque il tempo medio tra il tempo minimo impiegato in corrispondenza dei punti equinoziali ed il tempo massimo impiegato nei punti solstiziali pari a 235,90 / cos(23,44°) = 257,12 s

La durata del giorno solare varia dunque, per effetto della obliquità dell'orbita terrestre, di 257,12 - = 40,69 secondi nel corso dell'anno..

Anche in questo caso, per rappresentare tale variazione durante tutto l'anno, assumiamo che l'andamento sia sinusoidale. Inoltre sappiamo che, rispetto al valore medio, avremo la durata massima in corrispondenza dei solstizi, mentre quella minima agli equinozi. L'ampiezza del coseno è ovviamente la metà dell'escursione totale precedentemente calcolata (40,69/2 = 20,345s). Il ciclo è semestrale (365,2422/2=182,6211 giorni solari medi)

dove d è il numero di giorni dall'inizio dell'anno e l'81^mo giorno dell'anno è l'equinozio di primavera in corrispondenza del quale si presenta il primo minimo..

Come in precedenza, per calcolare gli scarti che si accumulano con il passare dei giorni integriamo la funzione precedente. Per calcolare la massima variazione accumulata basta sommare tutti i contributi che appartengono alla stessa semionda positiva (o negativa).
Se dunque indichiamo con A la durata dell'anno (365,2422 giorni) si avrà

Possiamo ora scrivere l'espressione dell'equazione del tempo dovuta all'obliquità dell'orbita terrestre. L'ampiezza del seno è ovviamente la metà dell'escursione totale precedentemente calcolata (19,711^m/2=9,86^m)

Equazione del tempo

Per ottenere la durata reale del giorno (giorno vero) è necessario sommare gli effetti dell'eccentricità e dell'obliquità. Le due componenti con periodi di un anno e di 6 mesi sono sfasate perchè la posizione del perigeo non coincide ne' con un equinozio, ne' con un solstizio.

Sommiamo prima le equazioni relative alla durata di un singolo giorno senza tener conto degli effetti cumulativi.

Osserviamo che il giorno solare più corto è il 14 Settembre (circa 22 secondi in meno del giorno solare medio), mentre il giorno più lungo è il 21 dicembre (circa 28 secondi in più del giorno solare medio). Sono differenze piccole, che però si accumulano nel corso dell'anno raggiungendo anche parecchi minuti prima di cambiare segno.

Sommiamo ora le equazioni relative alla durata di un singolo giorno tenendo conto degli effetti cumulativi.

Osserviamo che il giorno solare vero più lungo cade il 44^mo giorno dell'anno (13 febbraio) e quello più corto cade il 304^mo giorno dell'anno (31 ottobre). Inoltre il giorno vero dura esattamente 24 ore come il giorno solare medio 4 volte all'anno

giorno 106 (16 aprile)

giorno 164 (13 giugno)

giorno 243 (31 agosto)

giorno 358 (24 dicembre)

L'equazione del tempo E tiene conto di questi effetti cumulativi e permette di trasformare il tempo medio M (misurato da un orologio) nel tempo vero T (misurato da una meridiana) e viceversa e viene definita come

T = M + E.

Si noti come, se T è maggiore di M, sarà necessario sottrarre ad M il valore di E per ottenere il tempo vero T.  Se, ad esempio, il tempo vero T è pari a 24h 10m, quando l'orologio segna mezzanotte (tempo medio M), il giorno vero T non è ancora terminato (mancheranno ancora 10 minuti) e dunque per calcolare l'ora vera devo sottrarre ad M la maggior durata di T.

Per questo motivo i segni delle due componenti (eccentricità e obliquità) dovranno essere cambiati e l'equazione del tempo E si scrive

Si tenga infine presente che in alcuni vecchi testi l'equazione del tempo viene definita come M = T + E. Si tratta di una formulazione legata al passato, quando la vita era regolata sul sole e quindi sul tempo vero T ed era dunque più utile trasformare l'ora indicata da una meridiana (T) nell'ora indicata da un orologio meccanico (M). Se si utilizza quest'ultima formulazione non è ovviamente necessario cambiare i segni delle due componenti nell'equazione del tempo.