Congettura di Poincaré

Congettura di Poincaré

La Congettura di Poincaré è stata considerata durante tutta la metà del XX secolo il più importante problema insoluto della topologia, dimostrato da Grigorij Jakovlevič Perel'man nel .

Nel 1904 Henri Poincaré stava lavorando ai fondamenti di quella che poi sarebbe stata chiamata topologia algebrica. Egli in particolare studiava le proprietà e caratteristiche topologiche della sfera.

Poincaré aveva sviluppato uno strumento matematico chiamato omologia, che distingueva e permetteva quindi di classificare topologicamente tutte le varietà di dimensione 2. Egli congetturò inizialmente un fenomeno analogo in dimensione 3, ovvero che l'omologia distinguesse almeno la sfera tridimensionale dalle altre varietà. Si accorse molto presto di essere in errore, dato che riuscì a costruire una 3-varietà, chiamata successivamente sfera di Poincaré, con la stessa omologia della 3-sfera ma non omeomorfa ad essa. Spazi di questo tipo (ve ne sono in verità infiniti) vengono ora chiamati sfere di omologia.

Egli allora sviluppò un nuovo strumento, in un certo senso più raffinato, chiamato gruppo fondamentale. Si domandò quindi se questo strumento fosse sufficiente a distinguere la 3-sfera dalle altre varietà tridimensionali. Poincaré non ha mai dichiarato esplicitamente di credere all'affermazione seguente, però questa è passata alla storia come la 'congettura di Poincaré'.

Ogni 3-varietà semplicemente connessa chiusa (ossia compatta e senza bordi) è omeomorfa a una sfera tridimensionale.

Detto con termini diversi, la congettura dice che la 3-sfera è l'unica varietà tridimensionale 'senza buchi', cioè dove qualsiasi cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto.

Inizialmente questo problema fu trascurato finché nel 1930 J.H.C. Whitehead ravvivò l'interesse sulla congettura proponendo una prima soluzione. Successivamente si rese conto che la soluzione non era corretta ma comunque i suoi studi portarono alla scoperta di interessanti esempi di varietà che portarono alle varietà di Whitehead.

Tra gli anni cinquanta e sessanta molti matematici si cimentarono nell'impresa ma, pur ottenendo importanti risultati nel campo della topologia e delle varietà, non riuscirono a dimostrare o a confutare la congettura.

Col tempo la congettura acquistò la fama di essere una congettura molto difficile da dimostrare, pur possedendo una formulazione relativamente semplice. Questo indusse i matematici più famosi a essere molto cauti negli annunci legati alla congettura di Poincaré dato che errori a volte molto sottili rendevano le dimostrazioni inutili. Nonostante le mille cautele negli anni ottanta e novanta vi fu una serie di annunci su delle fantomatiche soluzioni che si rivelarono tutte errate. Contemporaneamente, la Congettura di Poincaré è inserita da William Thurston come parte di una congettura più grande che riguarda tutte le 3-varietà: la congettura di geometrizzazione.

Nel 2000 il Clay Mathematics Institute decise di includere la congettura di Poincaré tra i Problemi per il millennio e quindi di offrire un milione di dollari a chi avesse dimostrato la congettura stessa. Questo premio evidenzia ulteriormente la portata della congettura di Poincaré, soprattutto ai fini pratici: tutti i problemi del Millenium Prize avrebbero immediate applicazioni, sia teoriche che tecnologiche. La congettura di Poincaré avrebbe ripercussioni sulle possibili topologie della teoria delle stringhe e delle varie altre teorie della gravitazione quantistica.

Sembra che la congettura di Poincaré possa essere il primo premio assegnato. Nell'aprile del un primo articolo di M.J.Dunwoody propose una prima dimostrazione, che tuttavia si rivelò errata. Successivamente due articoli di Grigorij Jakovlevič Perel'man dell'Istituto Matematico di Steklov di San Pietroburgo sembrarono più promettenti. Nel primo, Perel'man dichiarò di aver dimostrato la più generale congettura di geometrizzazione di Thurston, portando avanti un programma intrapreso da Richard Hamilton. Nel , pubblicò un secondo articolo, iniziando una serie di conferenze negli Stati Uniti. Nel le sue tecniche furono analizzate e crearono un notevole interesse, anche per alcuni collegamenti con argomenti di fisica teorica, e portarono a far credere il suo come il più serio attacco che la congettura di Poincaré avesse mai ricevuto.

Tra il 2003 e il 2006, vengono pubblicate o messe in rete alcune esposizioni dettagliate del lavoro di Perel'man, redatte da alcuni matematici: prima alcune note di Kleiner e Lott, quindi nella primavera del 2006 un articolo di Huai-Dong Cao e Xiping Zhu pubblicato nell'Asian Journal of Mathematics e un articolo di Morgan e Tian. I lavori di Perel'man vengono quindi riconosciuti dalla comunità matematica, ma il russo rifiuta sia la Medaglia Fields, il 22 agosto , sia il premio Clay da un milione di dollari.

Una formulazione della congettura di Poincaré a n dimensioni è la seguente:

Ogni varietà chiusa n dimensionale omotopicamente equivalente alla n-sfera è omeomorfa alla n-sfera.

Questa definizione è equivalente alla congettura di Poincaré nel caso n=3. Le difficoltà maggiori sorgono per le dimensioni n = 3 e n = 4. Il caso con n=1 è banale, e il caso con n=2 è stato dimostrato con facilità. Stephen Smale dimostrò i casi con n≥7 nel 1960 e successivamente estese la dimostrazione a n≥5; egli vinse la medaglia Fields per questi lavori nel . Michael Freedman risolse n = 4 nel 1982 e ricevette quindi la medaglia Fields nel .

La congettura di Poincaré è legata alla classificazione delle varietà a 3 dimensioni. Per la 'classificazione delle varietà a 3 dimensioni' generalmente si intende la capacità di creare una lista contenente tutte le varietà possibili senza omeomorfismi o ripetizioni. Avere come risultato una classificazione è equivalente a definire se una varietà e omeomorfa ad un'altra varietà.

La congettura sulla geometrizzazione di Thurston contiene come caso particolare la congettura di Poincaré. Essa implica anche la capacità di classificare qualsiasi varietà a 3 dimensioni.