Elementi di elettronica a singolo elettrone

ELEMENTI DI ELETTRONICA A SINGOLO ELETTRONE

Si consideri un esperimento in cui si applica una differenza di potenziale a due elettrodi (un "source" ed un "drain"), separati da un gap isolante. Dentro il gap, tra i due elettrodi, ce ne sia un terzo, l' "isola", circondato dall'isolante. Per passare dal drain al source, gli elettroni devono attraversare l'isola: si assume che la conduzione di elettroni attraverso i gap isolanti tra il source e l'isola, e tra l'isola ed il drain avvenga per effetto tunnel. Questo processo sia così veloce che si possa assumere che gli elettroni attraversino i gap uno alla volta. Durante il suo tragitto dal source al drain, l'elettrone fa cambiare la carica dell'isola di . Se l'isola è abbastanza piccola, la variazione del potenziale dell'isola dovuta alla presenza di un elettrone in eccesso può essere abbastanza grande da influenzare le probabilità di tunneling.

Fig. 1: Il tunneling degli elettroni tra gli elettrodi di source di drain, attraverso l'isola.

L'esistenza di questo effetto di feedback è stato osservata giá nei primi anni Sessanta [I]: lo hopping degli elettroni da un grano all'altro viene inibito a basse tensioni se l'energia elettrostatica di un singolo elettrone in eccesso su di un grano di capacitá C è molto maggiore dell'energia termica dell'elettrone :

L'interpretazione di questi primi esperimenti è complicata dal limitato controllo sulla struttura del campione.

Oggi, con tecniche di nanofabbricazione è possibile realizzare isole metalliche di geometria voluta, separate da barriere tunnel ben controllabili.

In questo lavoro di tesi sono stati sviluppati due processi per la realizzazione di giunzioni tunnel metallo/dielettrico/metallo di dimensioni nanometriche: prima di presentarli in dettaglio, si è ritenuto opportuno trattare i fondamenti teorici della conduzione attraverso i più semplici dispositivi fondati su tali strutture.

I         Formula generale per l'effetto Tunnel

Se due elettrodi sono separati da un film isolante sufficientemente sottile, può scorrere corrente tra i due elettrodi per effetto tunnel.

I primi a compiere uno studio teorico su questo fenomeno sono stati A. Sommersfeld e B. Bethe (1933), che hanno considerato il caso di tensioni applicate molto basse e molto alte, derivando le equazioni per la densità di corrente che attraversa una barriera rettangolare. L'inclusione del potenziale immagine nella loro teoria rendeva le equazioni irresolubili analiticamente. In seguito, R. Holm e B. Kirschstein (1935) hanno esteso la teoria al caso di tensioni intermedie ed ottenuto una soluzione analitica alle equazioni nel caso di potenziale immagine approssimando la barriera con una parabola, approssimazione che è stato mostrato essere scarsa.

Il modello che è stato adottato in questo lavoro di tesi per descrivere il passaggio di corrente attraverso una barriera e quello sviluppato da J. G. Simmons (1963). A lui è infatti dovuta la prima teoria unificante per il tunneling attraverso una barriera di forma generica.

I.1         Equazione di Tunneling

Quando due elettrodi sono separati da un isolante, perché si istauri l'equilibrio il limite superiore del gap di energia dell'isolante deve essere posto al di sopra del livello di Fermi dei due elettrodi: l'isolante quindi introduce una barriera di potenziale tra gli elettrodi che impedisce il passaggio di elettroni tra gli elettrodi.

Fig. 1: Barriera di forma generica nel film isolante tra i due elettrodi metallici (Bibl. 1).

La corrente elettronica attraverso l'isolante può esistere se: (a) Gli elettroni negli elettrodi hanno abbastanza energia termica per sorpassare la barriera di potenziale, passando quindi nella banda di conduzione. (b) La barriera è abbastanza sottile da poter essere attraversata per effetto tunnel.

Si consideri innanzitutto il caso di basse temperature, così da poter trascurare la corrente termica, ed imputare dunque il trasporto di elettroni tra gli elettrodi al solo effetto tunnel.

La probabilità che un elettrone possa attraversare una barriera di potenziale alta è data dall'approssimazione WKB:

    

ove è la componente dell'energia dell'elettrone incidente nella direzione x.

Il numero di elettroni che fanno tunnel dall'elettrodo 1 al 2 è dato da:

dove è la massima energia degli elettroni nell'elettrodo, e è il numero di elettroni per unità di volume con velocità tra e .

Assumendo che la velocità dei portatori negli elettrodi sia distribuita in modo isotropo, il numero di elettroni per unità di volume con una velocità le cui componenti siano comprese tra e , tra e e tra e è dato da:

dove è la distribuzione di Fermi-Dirac.

Dalla si ricava:

con:

Sostituendo la nella , si ottiene:

                       

Il numero di elettroni che fanno tunnel dall'elettrodo 2 all' 1 è dato determinato in modo simile. La probabilità di tunneling è la stessa in ogni direzione e, se l'elettrodo 2 è a potenziale positivo V rispetto all'elettrodo 1, la Fermi-Dirac si scrive , quindi:

Il flusso netto di elettroni attraverso la barriera è:

                   

Ponendo poi:

e , la diventa:

   

I.2         Relazione Corrente-Tensione

Per integrare una funzione arbitraria:

                       

si definisce una funzione , valor medio di :

            

con .

Per cui la si può scrivere:

           

Espandendo la , e trascurando i termini in o potenze superiori, si ottiene:

                  

Per la , l'integrale del secondo termine tra parentesi graffe è nullo, quindi si ottiene:

           

con:

       

Essendo in genere:

si ha che , quindi, con buona approssimazione:

         

Esprimendo come , la diventa:

                       

Usando la per integrare la , si ottiene:

                          

Dove è l'altezza media della barriera rispetto al livello di Fermi dell'elettrodo polarizzato negativamente:

A , vista la forma della Fermi-Dirac, l'energia massima degli elettroni nell'elettrodo è pari a , e e sono dati da:

                     

Combinando la con le e , si ottiene finalmente l'equazione per la corrente:

                 

Per semplificare la , si addiziona e sottrae un termine , ottenendo così:

  

Portando avanti le integrazioni, con opportune approssimazioni si arriva a:

Che può essere espressa nella seguente forma:

                 

in cui:

L'equazione permette quindi di ricavare la caratteristica relativa ad una barriera di potenziale di forma qualsiasi, una volta che ne sia stata ricavata l'altezza media, o, viceversa, di determinare l'altezza media nota la caratteristica .

Fig. 2: Rappresentazione grafica dell'equazione , che mostra il flusso di corrente tra gli elettrodi (Bibl. 1).

In base all'equazione , la densità di corrente netta che scorre attraverso la barriera di potenziale può essere scomposta in una densità di corrente che scorre dall'elettrodo 1 all'elettrodo 2, ed una che scorre dall'elettrodo 2 all'elettrodo 1 (fig. 2). Quando è zero, si instaura un equilibrio dinamico: una densità di corrente scorre in entrambe le direzioni.

I.3         Barriera rettangolare

Si consideri una barriera di potenziale rettangolare (Fig. 1(a)).

In questo caso si ha:

Fig. 1: Barriera di potenziale rettangolare in un film isolante tra elettrodi metallici per: (a) V=0; (b) ; (c)

I.3.1    Basse tensioni

Per tensioni basse, , si puó ricavare una forma piú conveniente per la

Dal momento che , dalla si ricava che . Inoltre, essendo , quindi si ottiene:

Espandendo , e trascurando termini contenenti e di ordine superiore, si ottiene:

Dal momento che , si ottiene infine:

       

con:

Poiché è molto piccolo, è l'altezza media di barriera a tensione nulla:

Per tensioni basse la giunzione ha quindi un comportamento ohmico:

I.3.2    Tensioni intermedie

Dalla fig. 1(b):

Sostituendo nella , si ottiene:

                      

Considerando , l'errore commesso sui valori degli esponenti è del 6% per , ma si riduce velocemente al diminuire di V: per esso è pari all'1%.

Con , la diventa:

                   

I.3.3    Tensioni alte

In questo caso si ottiene (Fig. 3(c)):

Sostituendo nella , si ottiene:

           

Dove è il modulo del campo nell'isolante.

Per il fattore si ha:

quindi è indipendente da V.

Sostituendo il valore di nella , essa diventa:

    

Per tensioni molto alte, ovvero tali che:

il livello di Fermi dell'elettrodo 2 scende sotto il limite inferiore della banda di conduzione dell'elettrodo 1: in queste condizioni, gli elettroni non possono fare tunnel dall'elettrodo 2 all'1, perché non ci sono livelli vuoti disponibili, mentre la situazione è ribaltata per gli elettroni che fanno tunnel dall'elettrodo 1 al 2, dal momento che tutti i livelli disponibili nell'elettrodo 2 sono vuoti. Il secondo termine della diventa dunque trascurabile, e si ottiene:

   

I.3.4    Resistività di Tunneling

In Fig. 2 è mostrato l'andamento di , la resistività tunnel in funzione della tensione per una barriera rettangolare di costante dielettrica e .

Fig. 2: Caratteristica per una giunzione tunnel a barriera rettangolare (, ), per vari valori di s (Bibl. 1)

Per tensioni basse, tutte le curve tendono ad un asintoto orizzontale: questo significa che la giunzione presenta comportamento ohmico.

I.4         Dipendenza dalla temperatura

A temperature diverse da zero, la diventa:

                                 

Dove è espressa dalla

Per procedere nel calcolo, si deve dunque definire la forma della barriera: in generale l'integrale risultante non potrà essere risolto in forma chiusa, ma se la corrente tunnel è composta essenzialmente da elettroni che occupano livelli energetici molto vicini al livello di Fermi, si può pervenire ad una soluzione analitica.

Nell'ipotesi che solo gli elettroni di energia molto vicina al livello di Fermi contribuiscano effettivamente alla corrente, la può essere scritta in forma approssimata:

      

Sostituendo la nella , si ottiene:

                                         

Per metalli ordinari, è superiore al Livello di Fervi di diversi : l'estremo superiore di integrazione può quindi essere esteso all'infinito, il ch'esemplifica l'integrazione:

     

con .

A , la diventa:

                                         

Dove si è assunto che .

Confrontando la con la , che è stata ricavata senza ricorrere all'approssimazione , si nota che le due equazioni sono identiche, a parte il cambiamento del fattore che moltiplica il secondo esponenziale: nella è stato sostituito da . Questo errore non ha significato fisico, e discende proprio dall'approssimazione fatta.

Dalla , la dipendenza dalla temperatura della densità di corrente ad una data tensione può essere approssimata con:

    

BIBLIOGRAFIA

1. "Generalized Formula for the Electric Tunnel Effect between Similar Electrodes Separated by a Thin Insulating Film" J. G. Simmons, J. Appl. Phys. 34, 1793 (1963)
2. "Generalized Thermal J-V Characteristic for the Electric Tunnel Effect" J. G. Simmons, J. Appl. Phys. 35, 2655 (1964)
3. "Low-Voltage Current-Voltage Relationship of Tunnel Junctions" J. G. Simmons, J. Appl. Phys. 34, 238 (1963)
4. "Temperature Characteristic of BeO Tunneling structures" J. G. Simmons, Appl. Phys. Lett. 34, 238 (1963)