Dipolo elettrico equivalente in un volume conduttore

Dipolo elettrico equivalente in un volume conduttore

Gli elettrodi di un elettrocardiografo non esplorano direttamente il cuore ma le linee di corrente da esso generate.

Per semplicità è possibile sostituire, ad ogni istante tutte le cariche positive  presenti nelle miocellule cardiache con una sola carica positiva () e, analogamente, tutte le cariche negative con una sola carica negativa (), di intensità e distribuzione nello spazio tale da indurre la stessa distribuzione di linee di corrente provocata da tutto il miocardio. ( ) in quanto secondo il principio di elettroneutralità in ogni sistema continuo la somma delle cariche negative eguaglia quella delle cariche positive.

Il dipolo elettrico costituito da cariche uguali ma di segno opposto (poli) separate da una distanza ridotta (asse del dipolo) viene detto equivalente perché dal punto di vista elettrico causa una distribuzione di linee di corrente a quella che si osserva nel miocardio.

Questa semplificazione è assai utile perché ai fini di una trattazione quantitativa non si dovranno considerare tutte le cariche positive e negative esistenti in quel momento a livello della membrana miocardia, ma, utilizzando il concetto di dipolo elettrico equivalente solo una carica positiva e una negativa.

Il potenziale elettrico che si registra in un punto di un volume conduttore a causa della presenza di un dipolo si calcola partendo dalla espressione di potenziale elettrico ( ) che si registra in un punto P per azione di una carica puntiforme:

dove Q è la carica che genera il campo magnetico, P il punto in cui si misura il potenziale, r la distanza tra P e Q e K la costante dipendente dal mezzo interposto tra P e Q.

Consideriamo ora un dipolo, cioè non una singola carica ma una coppia di cariche, una positiva e l'altra negativa. I due poli sono vicini, cioè la loro distanza è molto più ridotta di quella che intercorre tra il baricentro del polo e il punto P dove si determina il valore del potenziale.

Il segmento che congiunge i poli (asse,  denominato δ ) è orientato per convenzione dal polo negativo verso il positivo.

Il potenziale nel punto P in tal caso si ottiene dall'espressione di data in precedenza:

Per avere la differenza fra ed si deve ruotare fino a sovrapporlo ad , ottenendo così il punto A', ma per approssimazione, visto che l'asse δ è di lunghezza minima, si può proiettare l'estremità di su (punto A) e assumere che A' e A coincidano.

Inoltre, poiché δ è piccolo rispetto a r (cioè il punto P è assai lontano rispetto alla lunghezza dell'asse del dipolo), gli angoli θ e θ' si possono ritenere uguali, per cui dalla nozione trigonometrica secondo cui un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente si ha:

Considerando inoltre l'approssimazione suddetta, si può anche porre:

Si avrà allora:

Se chiamiamo momento del dipolo la grandezza si ha:

dove K definisce il mezzo interposto tra il dipolo e P, m definisce il dipolo in quanto dipende dalla grandezza delle cariche e dalla distanza tra i poli; θ ed r definiscono la posizione del punto P rispetto al dipolo.

Un dipolo è caratterizzato anche dall'orientamento dell'asse (con verso diretto verso la carica positiva ), caratteristica implicita nel valore dell'angolo θ.

Così, considerando un dipolo posto a notevole distanza dal punto P il potenziale che vi si registra è direttamente proporzionale al momento del dipolo e al coseno dell'angolo che la congiungente del punto P con il punto medio dell'asse del dipolo forma con il verso positivo di quest'asse. E' altresì inversamente proporzionale al quadrato della lunghezza di tale congiungente.

Da qui il potenziale di P sarà massimo quando (a parità di m e di r) tale congiungente è il prolungamento dell'asse del dipolo ; sarà nullo quando tale congiungente è perpendicolare all'asse del dipolo . Si ha quindi la linea isopotenziale 0, che è perpendicolare all'asse del dipolo.

Applichiamo ora tali concetti considerando la parte tissutale più notevole del cuore, cioè i ventricoli, in un certo istante della fase di depolarizzazione. Anche in questo caso, analogamente a quanto visto per la striscia di tessuto muscolare, è possibile considerare invece della molteplicità di cariche positive e negative il dipolo equivalente sostituendo a tutte le cariche di un certo segno una sola carica di quel segno, opportunamente situata.

Un dipolo è quindi dotato di:

intensità

direzione (l'asse del dipolo)

verso (dal polo negativo al polo positivo).

Un dipolo può essere rappresentato mediante un vettore, sul quale si possono eseguire operazioni tipiche delle grandezze vettoriali.

Il dipolo equivalente risultante sarà quindi rappresentato dal vettore elettrico istantaneo che gli compete.